Les vecteurs

Vecteur et translation

Une translation est un glissement : chaque point se déplace de la même longueur, dans la même direction et le même sens. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur de la translation qui transforme $A$ en $B$ ; on l’appelle aussi vecteur déplacement de $A$ à $B$.

Un vecteur $\vec{u}$ est caractérisé par :

• une direction (celle de la droite $(AB)$),
• un sens (de $A$ vers $B$),
• une norme (la longueur $AB$), notée $\|\vec{u}\|$ ou $\|\overrightarrow{AB}\|$.

Égalité : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si les deux vecteurs ont même direction, même sens et même norme. Un vecteur a donc une infinité de représentants : pour tout point $M$, il existe un unique point $N$ tel que $\overrightarrow{MN} = \vec{u}$.

Vecteur nul : $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$ (déplacement de longueur $0$).

Vecteur opposé : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ (même direction, même norme, sens contraire).

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Vecteurs et parallélogramme

Propriété. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Attention à l’ordre des lettres : c’est $\overrightarrow{DC}$, pas $\overrightarrow{CD}$. Les deux flèches doivent pointer dans le même sens.

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Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$,

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Enchaîner la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis celle de vecteur $\overrightarrow{BC}$ revient à faire la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$. Pour construire $\vec{u} + \vec{v}$, on place un représentant de $\vec{v}$ à l’extrémité d’un représentant de $\vec{u}$ (règle du triangle).

Règle du parallélogramme : à partir de deux représentants de même origine $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$, on construit le point $M$ tel que $OAMB$ soit un parallélogramme ; alors $\overrightarrow{OM} = \vec{u} + \vec{v}$ (car $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OB} = \vec{v}$).

Propriétés : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$, $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$, $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$.

Différence : $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$. Avec des représentants de même origine, $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA}$.

Exemple. Simplifier $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$. De même $\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PN}$ : la différence de deux vecteurs de même origine joint les extrémités.

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Produit d’un vecteur par un réel

Soit $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ :

• a la même direction que $\vec{u}$ ;
• a le même sens si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$ ;
• a pour norme $\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|$.

Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$, alors $k\vec{u} = \vec{0}$.

Règles de calcul (comme en calcul littéral) : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$, $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$, $k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}$.

Exemple. $3(\vec{u} - 2\vec{v}) + 4\vec{v} = 3\vec{u} - 6\vec{v} + 4\vec{v} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$.

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Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$). Autrement dit : ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Applications :

• $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple (Thalès vectoriel). Dans un triangle $ABC$, soit $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $N$ tel que $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Alors $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Donc $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \frac{1}{3}BC$.

Le critère de colinéarité par les coordonnées (déterminant) est traité dans le cours Vecteurs et repérage.

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Combinaison de deux vecteurs non colinéaires

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ du plan s’écrit de manière unique $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ avec $a$, $b$ réels. On dit que $(\vec{u}, \vec{v})$ forme une base du plan.

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Caractérisation vectorielle du milieu

$I$ est le milieu de $[AB]$ $\iff$ $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ $\iff$ $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ $\iff$ $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Démonstration de la deuxième équivalence : $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \iff -\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.

Exemple. Soit $ABCD$ un parallélogramme et $I$ le milieu de $[AC]$. Montrons que $I$ est aussi le milieu de $[BD]$. $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD}) = (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$, car $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ dans un parallélogramme. Donc $I$ est le milieu de $[BD]$ : les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

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Piège classique

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ne sont pas égaux.

Ils ont même direction et même norme, mais des sens opposés : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. De même, l’égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ caractérise le parallélogramme $ABDC$, et non $ABCD$.