Quiz — Les vecteurs

Question 1 : $A$, $B$, $C$ sont trois points. À quoi est égal $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?

• $\overrightarrow{CA}$
• ✓ $\overrightarrow{AC}$
• $\overrightarrow{BB}$
• $\overrightarrow{CB}$

Explication : C'est la relation de Chasles : on part de $A$, on va en $B$, puis de $B$ en $C$ ; au total on est allé de $A$ en $C$. Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Question 2 : Simplifier $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{NP}$.

• $\overrightarrow{MP}$
• $\overrightarrow{PN}$
• ✓ $\vec{0}$
• $2\overrightarrow{MN}$

Explication : On réordonne : $\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PP} = \vec{0}$. On revient au point de départ, le déplacement total est nul.

Question 3 : $ABCD$ est un parallélogramme. Quelle égalité est vraie ?

• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$
• ✓ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$
• $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$

Explication : Dans le parallélogramme $ABCD$ (sommets dans cet ordre), les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur, et parcourus dans le même sens : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Attention : $\overrightarrow{CD}$ est l'opposé de $\overrightarrow{DC}$.

Question 4 : Sur la figure, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même origine $O$. Quel vecteur représente $\vec{u} + \vec{v}$ ?

• ✓ $\overrightarrow{OM}$, où $M$ est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$
• Le vecteur joignant les extrémités de $\vec{u}$ et $\vec{v}$
• Le vecteur de même direction que $\vec{u}$ et de longueur double
• $\overrightarrow{OM}$, où $M$ est le milieu du segment joignant les extrémités

Explication : Règle du parallélogramme : à partir de deux représentants $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$ de même origine, on complète le parallélogramme $OAMB$ ; la somme est la diagonale $\overrightarrow{OM}$. Le vecteur joignant les extrémités $A$ et $B$ représente la différence $\vec{v} - \vec{u}$.

Question 5 : $\vec{u}$ est un vecteur non nul. Que peut-on dire de $-3\vec{u}$ ?

• Même sens que $\vec{u}$, norme triplée
• ✓ Sens opposé à $\vec{u}$, norme triplée
• Sens opposé à $\vec{u}$, norme divisée par 3
• Direction différente de celle de $\vec{u}$

Explication : Multiplier par $k = -3$ : même direction (les vecteurs sont colinéaires), sens opposé car $k < 0$, et norme multipliée par $|k| = 3$.

Question 6 : On sait que $\overrightarrow{AB} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$. Que peut-on en déduire ?

• $ABDC$ est un parallélogramme
• Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont alignés
• ✓ Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
• $AB = CD$

Explication : $\overrightarrow{AB}$ est le produit de $\overrightarrow{CD}$ par un réel : les deux vecteurs sont colinéaires, donc $(AB) \parallel (CD)$. On ne peut pas conclure à l'alignement des quatre points (les droites peuvent être distinctes), et les longueurs sont différentes ($AB = \frac{2}{3}CD$).

Question 7 : $I$ est le milieu de $[AB]$. Quelle égalité est fausse ?

• $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$
• $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$
• $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}$
• ✓ $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}$

Explication : $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont même longueur mais des sens opposés : $\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}$, pas $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}$. Les trois autres égalités caractérisent bien le milieu.

Question 8 : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires. Exprimer $\vec{w} = 2(\vec{u} - \vec{v}) + 3\vec{v}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

• ✓ $2\vec{u} + \vec{v}$
• $2\vec{u} + 5\vec{v}$
• $2\vec{u} - 5\vec{v}$
• $5\vec{u} - 2\vec{v}$

Explication : On développe comme en calcul littéral : $2\vec{u} - 2\vec{v} + 3\vec{v} = 2\vec{u} + \vec{v}$.

Question 9 : $ABC$ est un triangle et $M$ le point tel que $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Que peut-on dire du quadrilatère $ABMC$ ?

• C'est un rectangle
• C'est un losange
• ✓ C'est un parallélogramme
• Ce n'est pas un quadrilatère : $M$ est sur $(BC)$

Explication : Par Chasles, $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$. En comparant avec $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, on obtient $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$ : $ABMC$ est un parallélogramme. Rien ne dit qu'il ait des angles droits ou des côtés égaux.

Question 10 : Soit $ABC$ un triangle, $D$ le point tel que $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB}$ et $E$ le point tel que $\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}$. Que peut-on affirmer ?

• $\overrightarrow{DE} = 3\overrightarrow{CB}$
• $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC}$
• $D$, $E$, $A$ sont alignés
• ✓ $\overrightarrow{DE} = 3\overrightarrow{BC}$

Explication : $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = -3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 3(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}) = 3\overrightarrow{BC}$. Donc $(DE) \parallel (BC)$ et $DE = 3BC$ : c'est le théorème de Thalès en version vectorielle.