Vecteurs et repérage

Base et repère orthonormés

Deux vecteurs non colinéaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ forment une base du plan. La base est orthonormée si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont perpendiculaires et de norme $1$.

Un repère $(O\,;\,\vec{i}, \vec{j})$ est la donnée d’une origine $O$ et d’une base. Tout point $M$ a des coordonnées $(x\,;\,y)$ définies par $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$ : $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur position de $M$.

Tout vecteur $\vec{u}$ s’écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ ; on note $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Les coordonnées d’un vecteur sont un déplacement : $x$ carreaux horizontalement, $y$ carreaux verticalement.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.

---

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$

Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Justification : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (x_B\vec{i} + y_B\vec{j}) - (x_A\vec{i} + y_A\vec{j}) = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$.

Exemple. $A(-2\,;\,3)$, $B(4\,;\,1)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}$.

---

Opérations avec les coordonnées

Pour $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ et $k$ réel :

$\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \qquad -\vec{u}\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

Exemple. $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ : $3\vec{u} + 2\vec{v}\begin{pmatrix} 6 - 6 \\ -3 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Application : le parallélogramme. $ABCD$ est un parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ $\iff$ mêmes coordonnées. On en déduit les coordonnées d’un quatrième sommet.

---

Norme et distance (repère orthonormé)

Dans une base orthonormée, par le théorème de Pythagore :

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Exemple. $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$ : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Exemple : nature d’un triangle. $A(0\,;\,0)$, $B(4\,;\,2)$, $C(-1\,;\,2)$. $AB^2 = 16 + 4 = 20$, $AC^2 = 1 + 4 = 5$, $BC^2 = 25 + 0 = 25$. Comme $AB^2 + AC^2 = BC^2$, le triangle est rectangle en $A$ (réciproque de Pythagore).

---

Milieu d’un segment

Le milieu $I$ de $[AB]$ vérifie $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, d’où

$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Exemple. $A(-3\,;\,5)$, $B(7\,;\,-1)$ : $I(2\,;\,2)$.

---

Déterminant et colinéarité

Le déterminant de $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ est le nombre

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y$

Théorème. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.

Démonstration. Supposons $\vec{u} \neq \vec{0}$ (si $\vec{u} = \vec{0}$, les deux propriétés sont vraies).

• Si $\vec{v} = k\vec{u}$, alors $x' = kx$, $y' = ky$ et $xy' - x'y = x \cdot ky - kx \cdot y = 0$.
• Réciproquement, supposons $xy' - x'y = 0$. Si $x \neq 0$, posons $k = \dfrac{x'}{x}$ : alors $x' = kx$ et $xy' = x'y = kxy$, donc $y' = ky$ ; ainsi $\vec{v} = k\vec{u}$. Si $x = 0$, alors $y \neq 0$ et $x'y = 0$ donne $x' = 0$ ; avec $k = \dfrac{y'}{y}$, on a bien $\vec{v} = k\vec{u}$.

Autre formulation : les vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles (le déterminant nul est l’égalité des produits en croix).

Exemple. $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 0$, colinéaires ($\vec{v} = 2\vec{u}$). $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{w}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ : $2 \times 5 - 4 \times 3 = -2 \neq 0$, non colinéaires.

---

Alignement et parallélisme

• $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$.
• $(AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$.

Exemple. $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(7\,;\,11)$. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$, $\det = 18 - 18 = 0$ : les points sont alignés.

Algorithme : tester l’alignement de trois points

def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    det = (xB - xA) * (yC - yA) - (xC - xA) * (yB - yA)
    return det == 0

print(alignes(1, 2, 3, 5, 7, 11))   # True

Avec des coordonnées décimales, on remplace det == 0 par abs(det) < 1e-9 à cause des arrondis de calcul.

---

Piège classique

Les coordonnées d’un vecteur ne sont pas celles d’un point.

Un point est repéré par sa position ; un vecteur par un déplacement. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(2\,;\,3)$ et $B(5\,;\,4)$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, et non $(5\,;\,4)$. Seul $\overrightarrow{OM}$ a les mêmes coordonnées que le point $M$.