Quiz — Vecteurs et repérage

Question 1 : $A(-1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,1)$. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

• $\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

Explication : $x_B - x_A = 4 - (-1) = 5$ et $y_B - y_A = 1 - 3 = -2$. Donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$. L'option $\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ est $\overrightarrow{BA}$.

Question 2 : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$. Quelles sont les coordonnées de $2\vec{u} - \vec{v}$ ?

• $\begin{pmatrix} 3 \\ -10 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$

Explication : $2\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$, puis $4 - (-1) = 5$ et $-6 - 4 = -10$. Donc $2\vec{u} - \vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix}$.

Question 3 : Dans un repère orthonormé, $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$. Quelle est la distance $AB$ ?

• $7$
• $\sqrt{7}$
• $25$
• ✓ $5$

Explication : $AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Ne pas oublier la racine carrée : $25$ est $AB^2$.

Question 4 : $A(-3\,;\,5)$ et $B(7\,;\,-1)$. Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?

• ✓ $I(2\,;\,2)$
• $I(5\,;\,-3)$
• $I(4\,;\,4)$
• $I(10\,;\,-6)$

Explication : $x_I = \dfrac{-3 + 7}{2} = 2$ et $y_I = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$. Donc $I(2\,;\,2)$. L'option $(10\,;\,-6)$ correspond aux coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, pas du milieu.

Question 5 : Que vaut le déterminant des vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ ?

• $-7$
• ✓ $13$
• $7$
• $-13$

Explication : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 3 \times 1 - 5 \times (-2) = 3 + 10 = 13$. Comme il est non nul, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Question 6 : $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(7\,;\,11)$. Ces trois points sont-ils alignés ?

• Non, car $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 6$
• ✓ Oui, car $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$
• Non, car $AB \neq AC$
• Oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$

Explication : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$. $\det = 2 \times 9 - 6 \times 3 = 18 - 18 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires ($\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$), donc $A$, $B$, $C$ sont alignés. En revanche $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} \neq \overrightarrow{AB}$.

Question 7 : Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} m \\ 9 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?

• $m = 6$
• ✓ $m = -6$
• $m = -13{,}5$
• $m = 13{,}5$

Explication : Colinéaires $\iff 4 \times 9 - m \times (-6) = 0 \iff 36 + 6m = 0 \iff m = -6$. Vérification : $\vec{v}\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix} = -\frac{3}{2}\vec{u}$.

Question 8 : Lire les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ représenté ci-dessous.

• $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Explication : Le vecteur part de $(1\,;\,4)$ et arrive en $(4\,;\,2)$ : on se déplace de $3$ vers la droite et de $2$ vers le bas. Donc $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Les coordonnées d'un vecteur sont un déplacement, pas la position de son extrémité.

Question 9 : $A(0\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$, $C(5\,;\,0)$, $D(9\,;\,6)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?

• ✓ Oui, car $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$
• Non, car les points ne sont pas alignés
• Non, car $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 24$
• Oui, car $AB = CD$

Explication : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$. $\det = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $(AB) \parallel (CD)$. Les quatre points n'ont pas besoin d'être alignés pour que les droites soient parallèles.

Question 10 : $A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,2)$, $C(5\,;\,5)$. Quelles sont les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

• $D(8\,;\,6)$
• $D(0\,;\,-2)$
• $D(2\,;\,-2)$
• ✓ $D(2\,;\,4)$

Explication : $ABCD$ parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5 - x_D \\ 5 - y_D \end{pmatrix}$. Donc $5 - x_D = 3$ et $5 - y_D = 1$ : $D(2\,;\,4)$. L'option $(8\,;\,6)$ correspond à $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, c'est-à-dire au parallélogramme $ABDC$.