Comment étudier une suite vérifiant $U_{n+1} = AU_n + C$ ?

On cherche d'abord un état stable $S$, c'est-à-dire une matrice colonne vérifiant $S = AS + C$, soit $(I - A)S = C$ ; si $I - A$ est inversible, $S = (I - A)^{-1}C$. On pose ensuite $V_n = U_n - S$ : on vérifie que $V_{n+1} = AV_n$, donc $V_n = A^nV_0$ et finalement $U_n = A^n(U_0 - S) + S$. Il reste à calculer $A^n$ (par récurrence ou grâce à une décomposition donnée par l'énoncé).

Pourquoi écrire deux suites couplées sous forme matricielle ?

Si $x_{n+1} = ax_n + by_n$ et $y_{n+1} = cx_n + dy_n$, alors en posant $U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, on obtient une seule relation $U_{n+1} = AU_n$, d'où $U_n = A^nU_0$. Le calcul de $A^n$ donne alors simultanément les expressions de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$, ce qui serait difficile en travaillant sur chaque suite séparément.

Comment calcule-t-on $A^n$ quand l'énoncé donne $A = PDP^{-1}$ ?

On montre par récurrence que $A^n = PD^nP^{-1}$ : c'est vrai pour $n = 0$ ($PP^{-1} = I$), et si $A^n = PD^nP^{-1}$ alors $A^{n+1} = A^nA = PD^nP^{-1}PDP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$. Comme $D$ est diagonale, $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$, puis on effectue les deux produits.

Suites et matrices

Définitions

Définition 1 — suite de matrices colonnes. Lorsque plusieurs quantités évoluent simultanément (deux populations en interaction, volumes de deux réservoirs, répartition de clients…), on les range à l’instant $n$ dans une matrice colonne $U_n$ . La suite $(U_n)$ est définie par récurrence lorsque $U_{n+1}$ s’exprime en fonction de $U_n$ : $U_{n+1} = AU_n \qquad \text{ou, plus généralement,} \qquad U_{n+1} = AU_n + C,$ où $A$ est une matrice carrée fixée et $C$ une matrice colonne constante (apports extérieurs, naissances, migrations…).

Définition 2 — état stable. Un état stable (ou point fixe) de la relation $U_{n+1} = AU_n + C$ est une matrice colonne $S$ vérifiant $S = AS + C$ : si $U_n = S$ , alors tous les termes suivants valent $S$ . L’équation se réécrit $(I - A)S = C$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (expression de $U_n$ ). (démonstration exigible) Si $U_{n+1} = AU_n$ pour tout entier naturel $n$ , alors pour tout $n$ : $U_n = A^nU_0$ .

Démonstration (récurrence sur $n$ ) : initialisation : $A^0U_0 = IU_0 = U_0$ ; hérédité : si $U_n = A^nU_0$ , alors $U_{n+1} = AU_n = A(A^nU_0) = A^{n+1}U_0$ . L’étude de la suite se ramène donc au calcul de $A^n$ (voir le cours sur les matrices et la Méthode 4).

Théorème 2 (état stable). Si la matrice $I - A$ est inversible, la relation $U_{n+1} = AU_n + C$ admet un unique état stable : $S = (I - A)^{-1}C.$

Théorème 3 (suite auxiliaire). (démonstration exigible) Soit $S$ un état stable et $V_n = U_n - S$ . Alors $V_{n+1} = AV_n$ , donc $V_n = A^nV_0$ et $U_n = A^n(U_0 - S) + S \quad \text{pour tout } n.$

Démonstration : $V_{n+1} = U_{n+1} - S = (AU_n + C) - (AS + C) = A(U_n - S) = AV_n$ ; le Théorème 1 donne $V_n = A^nV_0 = A^n(U_0 - S)$ , d’où $U_n = V_n + S$ .

Théorème 4 (convergence vers l’état stable). Si $A^n$ tend vers la matrice nulle (tous ses coefficients tendent vers $0$ ), alors $U_n = A^n(U_0 - S) + S$ tend vers $S$ quel que soit $U_0$ : l’état stable est la limite du système.

Théorème 5 (décomposition $A = PDP^{-1}$ ). Si $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale (décomposition toujours fournie par l’énoncé), alors pour tout entier naturel $n$ : $A^n = PD^nP^{-1}$ , où $D^n$ s’obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

Démonstration (récurrence) : vrai pour $n = 0$ ( $PP^{-1} = I$ ) ; si $A^n = PD^nP^{-1}$ , alors $A^{n+1} = A^nA = PD^nP^{-1} \cdot PDP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$ .

Méthodes

Méthode 1 — mettre un système d’évolution sous forme matricielle.

Nommer les quantités ( $x_n$ , $y_n$ …) et écrire une équation par quantité : $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$ (plus un éventuel terme constant).
Poser $U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ ; chaque ligne de $A$ recopie les coefficients d’une équation, et $C$ regroupe les constantes.
Obtenir $U_{n+1} = AU_n$ ou $U_{n+1} = AU_n + C$ .

Exemple (réservoirs) : $\begin{cases} x_{n+1} = 0{,}8x_n + 0{,}1y_n + 1 \\ y_{n+1} = 0{,}1x_n + 0{,}7y_n + 2 \end{cases} \iff U_{n+1} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}7 \end{pmatrix}U_n + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ . De même, le modèle proie-prédateur $x_{n+1} = 1{,}1x_n - 0{,}2y_n$ , $y_{n+1} = 0{,}1x_n + 0{,}9y_n$ donne $U_{n+1} = \begin{pmatrix} 1{,}1 & -0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}U_n$ .

Méthode 2 — étudier $U_{n+1} = AU_n + C$ avec l’état stable.

Chercher l’état stable : résoudre $(I - A)S = C$ , soit $S = (I - A)^{-1}C$ si $I - A$ est inversible (Théorème 2).
Poser $V_n = U_n - S$ et vérifier $V_{n+1} = AV_n$ (Théorème 3) : d’où $U_n = A^n(U_0 - S) + S$ .
Conclure sur le comportement : si $A^n$ tend vers la matrice nulle, $U_n$ tend vers $S$ (Théorème 4).

Exemple (réservoirs) : $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & -0{,}1 \\ -0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ , $ad - bc = 0{,}05 \neq 0$ , $(I - A)^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ , donc $S = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \end{pmatrix}$ ; vérification : $0{,}8 \times 10 + 0{,}1 \times 10 + 1 = 10$ . En partant de réservoirs vides, les volumes se stabilisent vers 10 litres.

Méthode 3 — coder une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

Pour $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ , poser $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$ .
Écrire $U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}U_n$ : la première ligne code la récurrence, la seconde recopie $u_{n+1}$ .
Conclure avec le Théorème 1 : $U_n = A^nU_0$ avec $U_0 = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_0 \end{pmatrix}$ .

Exemple (Fibonacci) : $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ : $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et l’on montre par récurrence que $M^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ pour $n \geq 1$ ; la calculatrice donne $F_{30} = 832\,040$ avec M^30.

Méthode 4 — calculer $A^n$ (en particulier avec une décomposition fournie).

$A$ diagonale : élever chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .
$A = \lambda I + N$ avec $N^2 = 0$ : $A^n = \lambda^nI + n\lambda^{n-1}N$ ; sinon, conjecturer à partir de $A^2$ , $A^3$ puis démontrer par récurrence.
Décomposition $A = PDP^{-1}$ fournie par l’énoncé : vérifier éventuellement la décomposition, puis appliquer $A^n = PD^nP^{-1}$ (Théorème 5) et effectuer les deux produits.

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = PDP^{-1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $P^{-1} = \dfrac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ : $A^n = \begin{pmatrix} 4^n & 2^n \\ 4^n & -2^n \end{pmatrix}\cdot\dfrac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \dfrac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}$ ; avec $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , on en déduit $x_n = \dfrac{4^n + 2^n}{2}$ et $y_n = \dfrac{4^n - 2^n}{2}$ .

Méthode 5 — calculer les termes par un algorithme.

Initialiser les coordonnées de $U_0$ .
Boucler : calculer les nouvelles valeurs simultanément à partir des anciennes (affectation x, y = ... en Python).
Boucle for pour atteindre un rang donné, boucle while pour chercher le premier rang vérifiant une condition (par exemple être à moins de $0{,}01$ de l’état stable).

def terme(A, C, U0, n):
    """Renvoie U_n pour U_{k+1} = A U_k + C (matrices 2x2 et colonnes 2x1 sous forme de listes)."""
    x, y = U0
    for _ in range(n):
        x, y = A[0][0] * x + A[0][1] * y + C[0], A[1][0] * x + A[1][1] * y + C[1]
    return x, y

A = [[0.8, 0.1], [0.1, 0.7]]
C = [1, 2]
print(terme(A, C, (0, 0), 30))   # (9.87..., 9.92...) : proche de l'état stable (10, 10)

L’affectation simultanée est indispensable : les deux nouvelles valeurs se calculent à partir des anciennes. Pour un seuil, remplacer la boucle for par while abs(x - 10) > 0.01 or abs(y - 10) > 0.01.

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