Quiz — Suites et matrices

Question 1 : Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = AU_n$ pour tout entier $n$. Quelle expression de $U_n$ est correcte ?

• $U_n = nAU_0$
• $U_n = A^nU_n$
• ✓ $U_n = A^nU_0$
• $U_n = U_0A^n$

Explication : C'est le **Théorème 1 (expression de $U_n$)** : $U_n = A^nU_0$, option C. La démonstration (exigible) est une récurrence : $U_0 = A^0U_0$ et si $U_n = A^nU_0$ alors $U_{n+1} = AU_n = A \cdot A^nU_0 = A^{n+1}U_0$. L'écriture $U_0A^n$ n'a pas de sens pour une matrice colonne $U_0$ (tailles incompatibles) ; elle est réservée aux matrices lignes, comme les distributions d'une chaîne de Markov.

Question 2 : Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n$. Que vaut $U_n$ ?

• ✓ $\begin{pmatrix} 2^n \\ 3^n \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 2n \\ 3n \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 6^n \\ 6^n \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 2^n + 3^n \\ 2^n + 3^n \end{pmatrix}$

Explication : D'après le **Théorème 1 (expression de $U_n$)**, $U_n = A^nU_0$ ; $A$ étant diagonale, $A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$ (cas 1 de la **Méthode 4 — calculer $A^n$**). Donc $U_n = \begin{pmatrix} 2^n \times 1 \\ 3^n \times 1 \end{pmatrix}$ : option A. Chaque coordonnée est une suite géométrique indépendante.

Question 3 : La suite $(U_n)$ vérifie $U_{n+1} = AU_n + C$. Un état stable $S$ est une matrice colonne telle que...

• $AS = C$
• ✓ $S = AS + C$
• $S = A^nC$
• $AS = S + C$

Explication : C'est la **Définition 2 — état stable** : une valeur qui ne bouge plus, c'est-à-dire que si $U_n = S$ alors $U_{n+1} = S$, soit $S = AS + C$ : option B. On la réécrit $(I - A)S = C$, d'où, d'après le **Théorème 2 (état stable)**, $S = (I - A)^{-1}C$ lorsque $I - A$ est inversible.

Question 4 : Soit $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$. Quel est l'état stable de la suite $U_{n+1} = AU_n + C$ ?

• $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 2 — étudier $U_{n+1} = AU_n + C$ avec l'état stable** : d'après le **Théorème 2 (état stable)**, $(I - A)S = C$ avec $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$, d'inverse $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Donc $S = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$ : option D. Vérification avec la **Définition 2 — état stable** : $0{,}5 \times 4 + 2 = 4$ et $0{,}5 \times 8 + 4 = 8$.

Question 5 : Soit la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 2$ et $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$. On pose $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$. Quelle matrice $A$ vérifie $U_{n+1} = AU_n$ ?

• ✓ $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 3 — coder une suite récurrente linéaire d'ordre 2** : $U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3u_{n+1} - 2u_n \\ u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$ : option A. La première ligne code la relation de récurrence, la seconde recopie $u_{n+1}$. Le **Théorème 1 (expression de $U_n$)** donne ensuite $U_n = A^nU_0$.

Question 6 : Soit $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On admet que $M^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$). Que vaut $M^4$ ?

• $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 3 — coder une suite récurrente linéaire d'ordre 2** (exemple de Fibonacci) : $F_0 = 0, F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2, F_4 = 3, F_5 = 5$, donc $M^4 = \begin{pmatrix} F_5 & F_4 \\ F_4 & F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ : option C. Vérification : $M^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $M^4 = (M^2)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.

Question 7 : On a $U_{n+1} = AU_n + C$ et $S$ est un état stable. On pose $V_n = U_n - S$. Quelle relation vérifie $(V_n)$ ?

• $V_{n+1} = AV_n + C$
• ✓ $V_{n+1} = AV_n$
• $V_{n+1} = V_n - S$
• $V_{n+1} = (A - I)V_n$

Explication : C'est le **Théorème 3 (suite auxiliaire)** : $V_{n+1} = U_{n+1} - S = (AU_n + C) - (AS + C) = A(U_n - S) = AV_n$ : option B. Les constantes $C$ se compensent, c'est exactement le rôle de l'état stable (**Définition 2**). On en déduit $V_n = A^nV_0$ par le **Théorème 1 (expression de $U_n$)**, puis $U_n = A^n(U_0 - S) + S$ : c'est l'étape 2 de la **Méthode 2 — étudier $U_{n+1} = AU_n + C$ avec l'état stable**.

Question 8 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n$. Que vaut $U_n$ ?

• $\begin{pmatrix} 2^n \\ 1 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 2 + n \\ 1 + n \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3n \\ 1 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 2 + n \\ 1 \end{pmatrix}$

Explication : D'après le **Théorème 1 (expression de $U_n$)**, $U_n = A^nU_0$, et $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (récurrence, cas 3 de la **Méthode 4 — calculer $A^n$**). Donc $U_n = \begin{pmatrix} 2 + n \\ 1 \end{pmatrix}$ : option D. Vérification directe : $U_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $U_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ : la seconde coordonnée reste constante et la première augmente de $1$ à chaque étape.

Question 9 : L'énoncé donne $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale. Quelle formule pour $A^n$ est correcte ?

• ✓ $A^n = PD^nP^{-1}$
• $A^n = P^nD^nP^{-n}$
• $A^n = D^n$
• $A^n = P^{-1}D^nP$

Explication : C'est le **Théorème 5 (décomposition $A = PDP^{-1}$)** : $A^n = PD^nP^{-1}$, option A. En effet $A^2 = PDP^{-1}PDP^{-1} = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^2P^{-1}$, et la récurrence se poursuit (**Méthode 4 — calculer $A^n$ avec une décomposition fournie**). L'ordre $P \ldots P^{-1}$ doit être respecté : $P^{-1}D^nP$ est en général une autre matrice.

Question 10 : Question type bac. Deux populations vérifient $x_{n+1} = 1{,}1x_n - 0{,}2y_n$ et $y_{n+1} = 0{,}1x_n + 0{,}9y_n$ avec $x_0 = 10$ et $y_0 = 5$. Quelle est la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = AU_n$ et que vaut $U_1$ ?

• $A = \begin{pmatrix} 1{,}1 & 0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ et $U_1 = \begin{pmatrix} 11{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}$
• $A = \begin{pmatrix} 1{,}1 & -0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ et $U_1 = \begin{pmatrix} 11 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}$
• ✓ $A = \begin{pmatrix} 1{,}1 & -0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ et $U_1 = \begin{pmatrix} 10 \\ 5{,}5 \end{pmatrix}$
• $A = \begin{pmatrix} 1{,}1 & 0{,}9 \\ -0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}$ et $U_1 = \begin{pmatrix} 15{,}5 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 1 — mettre un système d'évolution sous forme matricielle** : la ligne $1$ de $A$ contient les coefficients de $x_n$ et $y_n$ dans $x_{n+1}$, la ligne $2$ ceux dans $y_{n+1}$ : $A = \begin{pmatrix} 1{,}1 & -0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$. Alors $x_1 = 1{,}1 \times 10 - 0{,}2 \times 5 = 10$ et $y_1 = 0{,}1 \times 10 + 0{,}9 \times 5 = 5{,}5$ : option C. C'est un modèle proie-prédateur discrétisé : les prédateurs $y_n$ freinent les proies $x_n$ et se nourrissent d'elles.