Comment savoir si un produit de matrices $AB$ existe et quelle est sa taille ?

Le produit $AB$ existe uniquement si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$. Si $A$ est de taille $m \times p$ et $B$ de taille $p \times n$, alors $AB$ est de taille $m \times n$ : son coefficient ligne $i$, colonne $j$ s'obtient en multipliant terme à terme la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ puis en additionnant. Attention, $BA$ peut ne pas exister, ou exister et être différent de $AB$.

Comment calculer l'inverse d'une matrice et à quoi sert-il ?

Pour une matrice $2\times 2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$, et alors $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Pour une matrice $3\times 3$, on utilise la calculatrice (touche $x^{-1}$ dans le menu matrices). L'inverse sert à résoudre un système linéaire écrit $AX = B$ : si $A$ est inversible, l'unique solution est $X = A^{-1}B$.

Comment calculer $A^n$ pour une matrice carrée $A$ ?

Pour de petites valeurs de $n$, on utilise la calculatrice. Pour une formule générale, on calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture une expression de $A^n$ puis on la démontre par récurrence en vérifiant $A^{n+1} = A^n \times A$. Cas usuels : matrice diagonale ($D^n$ a pour coefficients diagonaux les puissances $n$-ièmes), matrice $A = I + N$ avec $N^2 = 0$ (alors $A^n = I + nN$), ou décomposition $A = PDP^{-1}$ fournie par l'énoncé (alors $A^n = PD^nP^{-1}$).

Matrices — BgMaths

Définitions

Définition 1 — matrice. Une matrice de taille $m \times n$ ( $m$ lignes, $n$ colonnes) est un tableau de $m \times n$ nombres réels. On note $A = (a_{ij})$ où $a_{ij}$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ . Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et les mêmes coefficients.

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ est de taille $2 \times 3$ , avec $a_{12} = -1$ et $a_{23} = 5$ . Tableau de ventes, matrice d’adjacence d’un graphe, coefficients d’un système : toutes ces situations se codent par une matrice.

Définition 2 — matrices particulières. Une matrice ligne a une seule ligne (exemple : $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ , une distribution de probabilité) ; une matrice colonne a une seule colonne (exemple : $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , les coordonnées d’un point). Une matrice carrée d’ordre $n$ a $n$ lignes et $n$ colonnes ; ses coefficients $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ forment la diagonale, et elle est diagonale si tous ses coefficients hors diagonale sont nuls. La matrice identité $I_n$ a des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs ( $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ) ; la matrice nulle a tous ses coefficients nuls.

Définition 3 — somme et produit par un réel. Pour deux matrices de même taille, l’addition et le produit par un réel se font coefficient par coefficient : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ et $(\lambda A)_{ij} = \lambda\, a_{ij}$ , avec les propriétés habituelles ( $A + B = B + A$ , $\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$ ).

Exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .

Définition 4 — produit de deux matrices. Si $A$ est de taille $m \times p$ et $B$ de taille $p \times n$ , le produit $AB$ est la matrice de taille $m \times n$ de coefficients $(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj} :$ on multiplie la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ terme à terme, puis on additionne. Le produit n’existe que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ .

Exemple : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 3y \end{pmatrix}$ : c’est ainsi que les matrices codent systèmes linéaires et transformations du plan.

Définition 5 — puissances d’une matrice carrée. Pour $A$ carrée : $A^0 = I_n$ , $A^1 = A$ et $A^{n+1} = A^n \times A$ (donc $A^2 = AA$ , $A^3 = AAA$ …). On a $A^pA^q = A^{p+q}$ .

Définition 6 — matrice inversible. Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible s’il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $AB = BA = I_n$ . Cette matrice $B$ est alors unique : on la note $A^{-1}$ . On admet que pour des matrices carrées, $AB = I_n$ suffit à entraîner $BA = I_n$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (règles de calcul) (admis). Pour des tailles compatibles : $A(BC) = (AB)C \qquad A(B + C) = AB + AC \qquad (A + B)C = AC + BC \qquad (\lambda A)B = \lambda(AB)$ et $I_n$ est neutre : $AI_n = I_mA = A$ pour $A$ de taille $m \times n$ . Mais le produit n’est pas commutatif : avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \neq BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Conséquences : $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ (qui ne vaut $A^2 + 2AB + B^2$ que si $AB = BA$ ), et $AB = 0$ n’entraîne pas $A = 0$ ou $B = 0$ : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = 0$ .

Théorème 2 (inverse d’une matrice 2×2). Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Si $ad - bc \neq 0$ , alors $A$ est inversible et $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ;$ si $ad - bc = 0$ , $A$ n’est pas inversible. La formule se vérifie par le produit : $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = (ad - bc)\,I_2$ .

Théorème 3 (propriétés de l’inverse). Si $A$ et $B$ sont inversibles de même ordre : $(A^{-1})^{-1} = A$ , $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (l’ordre s’inverse) et $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ . Unicité de l’inverse : si $AB = I$ et $CA = I$ , alors $C = C(AB) = (CA)B = B$ .

Théorème 4 (système linéaire). (démonstration exigible) Si $A$ est inversible, le système $AX = B$ admet une unique solution : $X = A^{-1}B$ .

Démonstration : si $AX = B$ , en multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}AX = A^{-1}B$ , soit $X = A^{-1}B$ ; réciproquement $A(A^{-1}B) = B$ . Si $A$ n’est pas inversible, le système a zéro ou une infinité de solutions (on le traite par substitution ou combinaison).

Théorème 5 (puissances usuelles).

Matrice diagonale : $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{pmatrix}$ (de même à l’ordre 3).
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , et plus généralement, si $A = \lambda I + N$ avec $N^2 = 0$ : $A^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1}N$ .
Si $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n = PD^nP^{-1}$ .

Chaque formule se démontre par récurrence en calculant $A^{n+1} = A^nA$ ; pour la troisième : $A^{n+1} = PD^nP^{-1} \cdot PDP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$ .

Théorème 6 (transformations du plan). Dans un repère orthonormé d’origine $O$ , une matrice carrée $M$ d’ordre $2$ définit la transformation $X \mapsto X' = MX$ (qui fixe $O$ ) :

Transformation	Matrice	Image de $(x\,;y)$
Homothétie de centre $O$ , rapport $k$	$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$	$(kx\,;ky)$
Symétrie d’axe $(Ox)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$	$(x\,;-y)$
Symétrie d’axe $(Oy)$	$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$	$(-x\,;y)$
Symétrie de centre $O$	$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$	$(-x\,;-y)$
Rotation de centre $O$ , angle $\theta$	$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$	$(x\cos\theta - y\sin\theta\,;\ x\sin\theta + y\cos\theta)$
Projection sur $(Ox)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$	$(x\,;0)$

Appliquer $M_1$ puis $M_2$ revient à appliquer la matrice $M_2M_1$ (attention à l’ordre) ; la transformation réciproque a pour matrice $M^{-1}$ .

Méthodes

Méthode 1 — calculer un produit de matrices.

Vérifier les tailles : $(m \times p)(p \times n)$ existe et donne une matrice $m \times n$ .
Pour chaque coefficient $(i, j)$ : multiplier la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ terme à terme, puis additionner.
Contrôler un coefficient simple (ligne ou colonne contenant des $0$ ou des $1$ ).

Exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times5 + 2\times7 & 1\times6 + 2\times8 \\ 3\times5 + 4\times7 & 3\times6 + 4\times8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ .

Méthode 2 — calculer les puissances d’une matrice carrée.

Calculer $A^2$ , $A^3$ (à la main ou à la calculatrice) et conjecturer une formule pour $A^n$ .
Démontrer la conjecture par récurrence en vérifiant que $A^{n+1} = A^nA$ redonne la formule au rang $n + 1$ .
Reconnaître les cas du Théorème 5 : matrice diagonale ; $A = \lambda I + N$ avec $N^2 = 0$ ; décomposition $A = PDP^{-1}$ fournie par l’énoncé.

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2 + N$ avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $N^2 = 0$ : $A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ (récurrence).

def produit(A, B):
    """Produit de A (m x p) par B (p x n)."""
    m, p, n = len(A), len(B), len(B[0])
    C = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(p):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    return C

def puissance(A, n):
    """A^n pour A carrée."""
    taille = len(A)
    P = [[1 if i == j else 0 for j in range(taille)] for i in range(taille)]
    for _ in range(n):
        P = produit(P, A)
    return P

A = [[1, 1], [0, 1]]
print(puissance(A, 5))   # [[1, 5], [0, 1]]

Avec le module numpy : A @ B pour le produit, np.linalg.matrix_power(A, n) pour une puissance, np.linalg.inv(A) pour l’inverse.

Méthode 3 — inverser une matrice.

En taille $2 \times 2$ : calculer $ad - bc$ ; s’il est nul, la matrice n’est pas inversible (Théorème 2).
Sinon, appliquer la formule : échanger $a$ et $d$ , changer le signe de $b$ et $c$ , diviser par $ad - bc$ .
En taille $3 \times 3$ : utiliser la calculatrice (touche $x^{-1}$ du menu matrices) ou, si l’énoncé propose un candidat $B$ , vérifier que $AB = I_3$ (Définition 6).

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ : $ad - bc = 6 - 1 = 5$ , donc $A^{-1} = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ ; et $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Méthode 4 — résoudre un système linéaire.

Écrire le système sous la forme $AX = B$ ( $A$ : coefficients, $X$ : inconnues, $B$ : seconds membres).
Vérifier que $A$ est inversible ( $ad - bc \neq 0$ en taille 2, calculatrice en taille 3).
Calculer $X = A^{-1}B$ (Théorème 4) et vérifier dans le système de départ.

Exemple : $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$ : $X = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ; vérification : $2 + 3 = 5$ et $1 + 9 = 10$ . Application : chercher la parabole $y = ax^2 + bx + c$ passant par trois points revient à un système $3 \times 3$ d’inconnues $a, b, c$ .

Méthode 5 — utiliser une matrice de transformation.

Représenter le point $M(x\,;y)$ par la matrice colonne $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ .
Calculer $X' = MX$ : les coordonnées de l’image (Théorème 6).
Pour une composée, multiplier les matrices dans l’ordre inverse d’application ( $M_1$ puis $M_2$ : matrice $M_2M_1$ ) ; pour la transformation réciproque, utiliser $M^{-1}$ (Méthode 3).

Exemple : la rotation d’angle $\frac{\pi}{2}$ a pour matrice $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ; l’image de $M(2\,;1)$ est $M'(-1\,;2)$ . $R^2 = -I_2$ : deux quarts de tour font un demi-tour, et $R^4 = I_2$ .

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

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