Quiz — Matrices

Question 1 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $AB$ ?

• $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 1 — calculer un produit de matrices** : d'après la **Définition 4 — produit de deux matrices**, on multiplie ligne par colonne : $(AB)_{11} = 1\times 0 + 2 \times 1 = 2$, $(AB)_{12} = 1 \times 1 + 2 \times 0 = 1$, $(AB)_{21} = 3 \times 0 + 4 \times 1 = 4$, $(AB)_{22} = 3$ : option C. Multiplier à droite par $B$ échange les colonnes de $A$ ; or $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (échange des lignes) : on retrouve la non-commutativité du **Théorème 1 (règles de calcul)**.

Question 2 : $A$ est une matrice de taille $2 \times 3$ et $B$ une matrice de taille $3 \times 1$. Lequel des énoncés est vrai ?

• ✓ $AB$ existe et est de taille $2 \times 1$
• $AB$ existe et est de taille $3 \times 3$
• $BA$ existe et est de taille $3 \times 3$
• Ni $AB$ ni $BA$ n'existent

Explication : D'après la **Définition 4 — produit de deux matrices**, $AB$ existe car le nombre de colonnes de $A$ ($3$) égale le nombre de lignes de $B$ ($3$), et le produit $(2 \times 3)(3 \times 1)$ est de taille $2 \times 1$ : option A. En revanche $BA$ n'existe pas : $B$ a $1$ colonne alors que $A$ a $2$ lignes. C'est l'étape 1 de la **Méthode 1 — calculer un produit de matrices** : toujours vérifier les tailles.

Question 3 : Quel est l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ?

• $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} \frac12 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 3 — inverser une matrice** : $ad - bc = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 \neq 0$, donc d'après le **Théorème 2 (inverse d'une matrice 2×2)**, $A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ : option B. Vérification : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = I_2$, conformément à la **Définition 6 — matrice inversible**. Inverser une matrice n'est pas inverser chaque coefficient.

Question 4 : Laquelle de ces matrices n'est pas inversible ?

• $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Explication : D'après le **Théorème 2 (inverse d'une matrice 2×2)**, une matrice $2 \times 2$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$. Pour $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : $ad - bc = 4 - 4 = 0$, la matrice n'est pas inversible (ses deux lignes sont proportionnelles) : option D. Pour les trois autres, $ad - bc$ vaut respectivement $-2$, $-1$ et $-5$, tous non nuls.

Question 5 : On veut résoudre le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ par le calcul matriciel. Quelle écriture est correcte ?

• ✓ $X = A^{-1}B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$, d'où $x = 2$, $y = 1$
• $X = BA^{-1}$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$, d'où $x = 1$, $y = 2$
• $X = A^{-1}B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$, d'où $x = 3$, $y = -1$
• Le système n'a pas de solution car $A$ n'est pas inversible

Explication : **Méthode 4 — résoudre un système linéaire** : le système s'écrit $AX = B$ avec $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Comme $ad - bc = 1 \neq 0$ (**Théorème 2 (inverse d'une matrice 2×2)**), $A$ est inversible et le **Théorème 4 (système linéaire)** donne $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ : option A. Vérification : $2 \times 2 + 1 = 5$ et $2 + 1 = 3$. L'écriture $BA^{-1}$ n'a pas de sens ici (tailles incompatibles).

Question 6 : Soit $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Que vaut $D^n$ pour tout entier naturel $n$ ?

• $\begin{pmatrix} 3n & 0 \\ 0 & -n \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & -1^n \end{pmatrix}$

Explication : D'après le **Théorème 5 (puissances usuelles)**, une matrice diagonale se multiplie coefficient par coefficient sur la diagonale : $D^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}$ : option C. On le démontre par récurrence (**Méthode 2 — calculer les puissances d'une matrice carrée**) : $D^2 = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, etc. Attention, $-1^n = -(1^n) = -1$ n'est pas $(-1)^n$, qui vaut $1$ pour $n$ pair.

Question 7 : La matrice $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ représente la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(2\,;1)$ ?

• $M'(1\,;2)$
• $M'(-2\,;-1)$
• $M'(1\,;-2)$
• ✓ $M'(-1\,;2)$

Explication : **Méthode 5 — utiliser une matrice de transformation** : d'après le **Théorème 6 (transformations du plan)**, $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = R\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 2 - 1 \times 1 \\ 1 \times 2 + 0 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ : option D. On vérifie que $OM' = OM = \sqrt 5$ et que $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OM'} = -2 + 2 = 0$ : l'angle est bien droit.

Question 8 : Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées inversibles de même ordre. Que vaut $(AB)^{-1}$ ?

• $A^{-1}B^{-1}$
• ✓ $B^{-1}A^{-1}$
• $(BA)^{-1}$
• $A^{-1} + B^{-1}$

Explication : D'après le **Théorème 3 (propriétés de l'inverse)**, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ : option B. En effet $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ (associativité du **Théorème 1 (règles de calcul)**), et de même dans l'autre sens. L'ordre s'inverse, comme pour enfiler puis retirer chaussettes et chaussures ; $A^{-1}B^{-1}$ n'est l'inverse de $AB$ que si $A$ et $B$ commutent.

Question 9 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Que peut-on dire de $AB$ et $BA$ ?

• $AB = BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
• ✓ $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
• $AB = BA = I_2$
• $AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Explication : **Méthode 1 — calculer un produit de matrices** : $AB = \begin{pmatrix} 1\times1 + 1\times1 & 1\times0 + 1\times1 \\ 0 + 1 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : option B. C'est l'exemple du **Théorème 1 (règles de calcul)** : le produit matriciel n'est pas commutatif, $AB \neq BA$.

Question 10 : Question type bac. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Quelle matrice est $A^{-1}$ ?

• ✓ $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
• $A$ n'est pas inversible

Explication : **Méthode 3 — inverser une matrice** (cas $3 \times 3$) : on vérifie le candidat en calculant le produit, qui doit donner $I_3$ (**Définition 6 — matrice inversible**). Ici $A\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$ : option A. Par exemple, ligne $1$ de $A$ fois colonne $2$ : $1\times(-1) + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 0$. La deuxième proposition échoue en position $(1,3)$ : $-1 - 1 + 1 = -1 \neq 0$.