Équations dans ℂ

Théorème 1 (identification des coefficients) (admis). Si une fonction polynôme est nulle (pour tout $z$), alors tous ses coefficients sont nuls. Par conséquent, deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : c’est le principe d’identification des coefficients, utilisé dans toutes les factorisations de ce chapitre.

Théorème 2 (second degré à coefficients réels). (démonstration exigible pour $\Delta < 0$ : forme canonique $a\left[\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$, puis $-\frac{\Delta}{4a^2} = -\left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$ et différence de deux carrés). Soit $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c$ réels, $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $z = \dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$ : une solution réelle double $z = -\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Dans tous les cas, $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$.

Théorème 3 (somme et produit des racines). Si $z_1, z_2$ sont les racines de $az^2 + bz + c$ ($a \neq 0$), alors

$z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \qquad z_1z_2 = \frac{c}{a}$

(on développe $a(z - z_1)(z - z_2)$ et on identifie, Théorème 1). Réciproquement, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les solutions de $z^2 - sz + p = 0$.

Théorème 4 (racines conjuguées). (démonstration exigible : $\overline{P(z_0)} = \sum \overline{a_k}\,\overline{z_0}^{\,k} = \sum a_k\overline{z_0}^{\,k} = P(\overline{z_0})$ car les $a_k$ sont réels). Si $P$ est un polynôme à coefficients réels et $P(z_0) = 0$, alors $P(\overline{z_0}) = 0$ : les racines non réelles vont par paires conjuguées. Piège : c’est faux si les coefficients ne sont pas tous réels.

Théorème 5 (factorisation de $z^n - a^n$). (démonstration exigible : développer le produit et constater que la somme est télescopique, il ne reste que $z^n - a^n$). Pour tout entier $n \geq 1$ et tout $a \in \mathbb{C}$ :

$z^n - a^n = (z - a)\left(z^{n-1} + az^{n-2} + a^2z^{n-3} + \cdots + a^{n-2}z + a^{n-1}\right) = (z - a)\sum_{k=0}^{n-1}a^kz^{n-1-k}$

Exemples : $z^2 - a^2 = (z - a)(z + a)$ ; $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$ ; $z^4 - 16 = (z - 2)(z^3 + 2z^2 + 4z + 8)$.

Théorème 6 (factorisation par $z - a$). (démonstration exigible : $P(z) = P(z) - P(a) = \sum_{k=1}^{n}a_k(z^k - a^k)$, et chaque $z^k - a^k$ se factorise par $(z - a)$ d’après le Théorème 5). Soit $P$ un polynôme de degré $n \geq 1$ et $a \in \mathbb{C}$. Si $P(a) = 0$, il existe un polynôme $Q$ de degré $n - 1$ tel que $P(z) = (z - a)Q(z)$ pour tout $z$. La réciproque est immédiate : $a$ est racine de $P$ si et seulement si $P$ est factorisable par $z - a$.

Théorème 7 (nombre de racines). (démonstration exigible, par récurrence : un degré 1 a exactement une racine ; si $P$ de degré $n + 1$ a une racine $a$, alors $P = (z - a)Q$ avec $\deg Q = n$, et toute autre racine de $P$ est racine de $Q$). Un polynôme de degré $n \geq 1$ admet au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{C}$.

Conséquences : si l’on a trouvé $n$ racines distinctes d’un polynôme de degré $n$, on les a toutes (exemple : $1, i, -1, -i$ sont les seules solutions de $z^4 = 1$) ; un polynôme qui a une infinité de racines est le polynôme nul ; un degré $n$ peut avoir strictement moins de $n$ racines ($(z - 1)^5$ n’a que la racine 1). Remarque (analyse) : un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle (limites de signes contraires en $\pm\infty$ et théorème des valeurs intermédiaires).