Quiz — Équations dans ℂ

Question 1 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$.

• ✓ $z = 1 + 2i$ ou $z = 1 - 2i$
• $z = -1 + 2i$ ou $z = -1 - 2i$
• $z = 1 + 4i$ ou $z = 1 - 4i$
• $z = 2 + i$ ou $z = 2 - i$

Explication : **Méthode 1 — résoudre une équation du second degré à coefficients réels** : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. D'après le **Théorème 2 (second degré réel)**, les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$ : option A. Vérification par le **Théorème 3 (somme et produit)** : somme $2 = -\frac{b}{a}$ et produit $(1+2i)(1-2i) = 5 = \frac{c}{a}$.

Question 2 : Quelles sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de $z^2 + 4 = 0$ ?

• $z = 2$ ou $z = -2$
• ✓ $z = 2i$ ou $z = -2i$
• $z = 2i$ uniquement
• Il n'y a pas de solution

Explication : **Méthode 2 — résoudre $z^2 = -d^2$** : $z^2 = -4 = (2i)^2$, donc $z^2 - (2i)^2 = (z - 2i)(z + 2i) = 0$, et un produit nul a un facteur nul : $z = 2i$ ou $z = -2i$ : option B. Conformément au **Théorème 7 (nombre de racines)**, cette équation de degré 2 a bien deux solutions, opposées et conjuguées.

Question 3 : Quelle est la factorisation de $z^3 - 1$ par $z - 1$ ?

• $(z - 1)(z^2 - z + 1)$
• $(z + 1)(z^2 - z + 1)$
• ✓ $(z - 1)(z^2 + z + 1)$
• $(z - 1)^3$

Explication : D'après le **Théorème 5 (factorisation de $z^n - a^n$)** avec $n = 3$ et $a = 1$ : $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$ : option C. Vérification en développant : $(z - 1)(z^2 + z + 1) = z^3 + z^2 + z - z^2 - z - 1 = z^3 - 1$. Les deux autres racines cubiques de 1 sont celles de $z^2 + z + 1$ (**Méthode 1** : $\Delta = -3$) : $\frac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$.

Question 4 : Soit $P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z - 2$. On vérifie que $P(1) = 0$. Quel est l'ensemble des solutions de $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$ ?

• $\{1\,;\,-1 + i\,;\,-1 - i\}$
• $\{1\,;\,2i\,;\,-2i\}$
• $\{1\,;\,1 + i\}$
• ✓ $\{1\,;\,1 + i\,;\,1 - i\}$

Explication : **Méthode 5 — résoudre une équation de degré 3 dont une racine est connue** : comme $P(1) = 0$, le **Théorème 6 (factorisation par $z - a$)** donne $P(z) = (z - 1)(z^2 + \beta z + \gamma)$. Par identification (**Méthode 4**) : coefficient de $z^2$ : $\beta - 1 = -3$, donc $\beta = -2$ ; terme constant : $-\gamma = -2$, donc $\gamma = 2$. Ainsi $P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 2)$. La **Méthode 1** donne pour $z^2 - 2z + 2$ : $\Delta = -4$, racines $1 \pm i$. Solutions : $1$, $1 + i$, $1 - i$ : option D.

Question 5 : Un polynôme de degré 5 à coefficients réels admet dans $\mathbb{C}$ :

• Exactement 5 racines distinctes
• ✓ Au plus 5 racines distinctes
• Au moins 5 racines
• Une infinité de racines complexes

Explication : D'après le **Théorème 7 (nombre de racines)**, un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes : option B. Il peut en avoir moins de 5 : $(z - 1)^5$ n'a que la racine 1. « Exactement 5 racines » n'est vrai qu'en comptant les multiplicités, notion qui ne fait pas partie de l'énoncé du théorème.

Question 6 : Quels sont les deux nombres complexes dont la somme vaut $4$ et le produit vaut $13$ ?

• ✓ $2 + 3i$ et $2 - 3i$
• $-2 + 3i$ et $-2 - 3i$
• $4 + 3i$ et $4 - 3i$
• $2 + 3$ et $2 - 3$

Explication : **Méthode 3 — trouver deux nombres de somme et produit donnés** : d'après le **Théorème 3 (somme et produit des racines)**, ce sont les solutions de $z^2 - sz + p = z^2 - 4z + 13 = 0$. La **Méthode 1** donne $\Delta = 16 - 52 = -36$, donc $z = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$ : option A. Vérification : somme $4$, produit $4 + 9 = 13$.

Question 7 : Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = -9$ a pour solution(s) :

• $z = 3i$ uniquement
• Aucune solution
• ✓ $z = 3i$ ou $z = -3i$
• $z = 3$ ou $z = -3$

Explication : **Méthode 2 — résoudre $z^2 = -d^2$** : $z^2 = -9 = (3i)^2 \iff (z - 3i)(z + 3i) = 0 \iff z = 3i$ ou $z = -3i$ : option C. Piège classique : on n'écrit **jamais** $\sqrt{-9}$ ; il n'y a pas de racine carrée privilégiée dans $\mathbb{C}$, mais deux nombres opposés dont le carré vaut $-9$.

Question 8 : Le nombre $1 + 2i$ est racine de $z^2 + bz + c = 0$, avec $b$ et $c$ réels. Que valent $b$ et $c$ ?

• ✓ $b = -2$ et $c = 5$
• $b = 2$ et $c = 5$
• $b = -2$ et $c = -3$
• $b = -1$ et $c = 5$

Explication : Les coefficients étant réels, le **Théorème 4 (racines conjuguées)** assure que $1 - 2i$ est aussi racine. D'après le **Théorème 3 (somme et produit des racines)** : somme $2 = -b$ donc $b = -2$ ; produit $(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5 = c$ : option A. L'équation est $z^2 - 2z + 5 = 0$.

Question 9 : Quelle est la factorisation de $z^4 - 16$ par $z - 2$ ?

• $(z - 2)(z^3 - 2z^2 + 4z - 8)$
• $(z - 2)(z^3 + 8)$
• $(z - 2)(z + 2)(z^2 - 4)$
• ✓ $(z - 2)(z^3 + 2z^2 + 4z + 8)$

Explication : D'après le **Théorème 5 (factorisation de $z^n - a^n$)** avec $n = 4$ et $a = 2$ : $z^4 - 2^4 = (z - 2)(z^3 + 2z^2 + 4z + 8)$ : option D. On peut poursuivre : $z^3 + 2z^2 + 4z + 8 = (z + 2)(z^2 + 4)$, donc $z^4 - 16 = (z - 2)(z + 2)(z - 2i)(z + 2i)$ : les solutions de $z^4 = 16$ sont $\pm 2$, $\pm 2i$, et d'après le **Théorème 7**, ce sont les seules (4 racines pour un degré 4).

Question 10 : Question type bac. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3 = 8$.

• $z = 2$ uniquement
• ✓ $z = 2$, $z = -1 + i\sqrt3$ ou $z = -1 - i\sqrt3$
• $z = 2$, $z = 1 + i\sqrt3$ ou $z = 1 - i\sqrt3$
• $z = 2$, $z = -2$ ou $z = 2i$

Explication : D'après le **Théorème 5 (factorisation de $z^n - a^n$)** : $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$. La **Méthode 1** donne pour $z^2 + 2z + 4 = 0$ : $\Delta = 4 - 16 = -12$, donc $z = \frac{-2 \pm 2i\sqrt3}{2} = -1 \pm i\sqrt3$ : option B. Trois solutions pour un degré 3 : d'après le **Théorème 7 (nombre de racines)**, on les a toutes. Elles ont toutes pour module 2 et forment un triangle équilatéral (racines cubiques de 8).