Comment passer de la forme algébrique $a + ib$ à la forme exponentielle ?

On calcule d'abord le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, puis on cherche $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$ en reconnaissant des valeurs remarquables (il faut les deux conditions : le cosinus seul ne suffit pas). Alors $z = r e^{i\theta}$. Exemple : $-1 + i$ a pour module $\sqrt2$, $\cos\theta = -\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt2}{2}$, donc $\theta = \frac{3\pi}{4}$ et $-1 + i = \sqrt2\,e^{3i\pi/4}$.

Quelle forme choisir pour un calcul donné ?

La forme algébrique convient aux sommes, aux différences et aux équations avec identification. La forme exponentielle convient aux produits, quotients et puissances : les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent. Pour $(\sqrt3 + i)^{6}$, on écrit $\sqrt3 + i = 2e^{i\pi/6}$ et le résultat $64e^{i\pi} = -64$ est immédiat, alors que le développement algébrique serait très long.

Comment linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ ?

On remplace $\cos\theta$ par $\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ (formule d'Euler), on développe avec la formule du binôme, puis on regroupe les termes $e^{ik\theta}$ et $e^{-ik\theta}$ pour faire réapparaître des $\cos(k\theta)$ (ou des $\sin(k\theta)$). Le résultat est une combinaison de $\cos(k\theta)$ facile à intégrer, par exemple $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.

Forme trigonométrique et exponentielle des complexes

Définitions

Définition 1 — argument. Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct $(O\,;\vec u, \vec v)$ , pour $z \neq 0$ d’image $M$ , un argument de $z$ , noté $\arg z$ , est une mesure en radians de l’angle orienté $(\vec u, \overrightarrow{OM})$ . Il est défini modulo $2\pi$ ; le nombre 0 n’a pas d’argument.

Exemples : $\arg(1 + i) = \frac{\pi}{4}$ ; $\arg(-1 + i) = \frac{3\pi}{4}$ ; $\arg(-2i) = -\frac{\pi}{2}$ ; $\arg(-5) = \pi$ .

Définition 2 — forme trigonométrique. Pour $z \neq 0$ , l’écriture $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg z$ est la forme trigonométrique de $z$ . Piège : le facteur devant la parenthèse doit être strictement positif ; $-2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ n’est pas une forme trigonométrique (on écrit $2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$ ).

Définition 3 — exponentielle imaginaire. Pour tout réel $\theta$ , on pose $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ : c’est le nombre complexe de module 1 et d’argument $\theta$ , et $\mathbb{U} = \{e^{i\theta}\,;\ \theta \in \mathbb{R}\}$ . Valeurs à connaître : $e^{i0} = 1$ , $e^{i\pi/2} = i$ , $e^{i\pi} = -1$ , $e^{-i\pi/2} = -i$ , $e^{2i\pi} = 1$ , $e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt2}{2}(1 + i)$ , $e^{i\pi/3} = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}$ .

Définition 4 — forme exponentielle. Tout $z \neq 0$ s’écrit $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg z$ : c’est la forme exponentielle de $z$ . Comme pour la forme trigonométrique, le module doit être strictement positif : $-2e^{i\pi/2}$ n’est pas une forme exponentielle (on écrit $2e^{-i\pi/2}$ pour $-2i$ ).

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (caractérisation de l’argument). Pour $z = a + ib \neq 0$ et $r = |z|$ , le réel $\theta$ est un argument de $z$ si et seulement si

$\cos\theta = \frac{a}{r} \qquad \text{et} \qquad \sin\theta = \frac{b}{r}$

Piège : il faut vérifier les deux conditions ( $\cos\theta = -\frac{\sqrt2}{2}$ est satisfait par $\frac{3\pi}{4}$ et par $-\frac{3\pi}{4}$ ). Réciproquement, si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ , alors $|z| = r$ et $\arg z \equiv \theta\ [2\pi]$ . Cas particuliers : $z$ réel strictement positif $\iff \arg z \equiv 0\ [2\pi]$ ; réel strictement négatif $\iff \arg z \equiv \pi\ [2\pi]$ ; imaginaire pur non nul $\iff \arg z \equiv \frac{\pi}{2}\ [\pi]$ .

Théorème 2 (formules d’addition et de duplication). (démonstration exigible de $\cos(a - b)$ par le produit scalaire : avec $A(\cos a\,;\sin a)$ et $B(\cos b\,;\sin b)$ sur le cercle trigonométrique, $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ vaut $\cos a\cos b + \sin a\sin b$ en coordonnées et $\cos(a - b)$ par la définition géométrique). Pour tous réels $a, b$ :

$\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b \qquad \sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$

Duplication ( $b = a$ ) : $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin 2a = 2\sin a\cos a$ .

Exemple : $\cos\frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}$ .

Théorème 3 (relation fonctionnelle). (démonstration exigible : on développe le produit $(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta')$ et on reconnaît les formules d’addition du Théorème 2). Pour tous réels $\theta, \theta'$ :

$e^{i\theta}\,e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$

Conséquences : $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta}}$ ; $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')}$ ; $e^{i\theta} = e^{i\theta'} \iff \theta \equiv \theta'\ [2\pi]$ .

Théorème 4 (règles de calcul en forme exponentielle). Pour $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ (avec $r, r' > 0$ ) :

$zz' = rr'e^{i(\theta + \theta')} \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')} \qquad z^n = r^ne^{in\theta}\ (n \in \mathbb{Z}) \qquad \bar z = re^{-i\theta} \qquad -z = re^{i(\theta + \pi)}$

En termes d’arguments (modulo $2\pi$ ) : $\arg(zz') = \arg z + \arg z'$ , $\arg\dfrac{z}{z'} = \arg z - \arg z'$ , $\arg(z^n) = n\arg z$ , $\arg\bar z = -\arg z$ . Égalité : $re^{i\theta} = r'e^{i\theta'} \iff r = r'$ et $\theta \equiv \theta'\ [2\pi]$ .

Théorème 5 (formules d’Euler). (démonstration exigible : additionner ou soustraire $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ ). Pour tout réel $\theta$ :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Théorème 6 (formule de Moivre). (démonstration exigible, par récurrence à partir de la relation fonctionnelle du Théorème 3, puis $\left(e^{i\theta}\right)^{-1} = e^{-i\theta}$ pour les exposants négatifs). Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \qquad \text{soit} \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$

Méthodes

Méthode 1 — passer de la forme algébrique à la forme exponentielle.

Calculer le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Factoriser $z = r\left(\dfrac{a}{r} + i\dfrac{b}{r}\right)$ et chercher $\theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ (Théorème 1), en reconnaissant des valeurs remarquables.
Conclure : $z = re^{i\theta}$ .

Exemple : $z = -\sqrt3 + i$ : $r = 2$ , $\cos\theta = -\frac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\theta = \frac12$ , donc $\theta = \frac{5\pi}{6}$ et $z = 2e^{5i\pi/6}$ .

Méthode 2 — passer de la forme exponentielle à la forme algébrique.

Remplacer $e^{i\theta}$ par $\cos\theta + i\sin\theta$ (Définition 3).
Évaluer le cosinus et le sinus, puis développer.

Exemple : $2e^{2i\pi/3} = 2\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right) = -1 + i\sqrt3$ .

Méthode 3 — calculer un produit, un quotient, une puissance en forme exponentielle.

Mettre chaque facteur en forme exponentielle (Méthode 1).
Appliquer le Théorème 4 : les modules se multiplient (ou se divisent), les arguments s’ajoutent (ou se soustraient) ; pour une puissance, $z^n = r^ne^{in\theta}$ .
Réduire l’argument modulo $2\pi$ et, si demandé, revenir en forme algébrique (Méthode 2). Règle de choix : forme algébrique pour additionner et identifier, forme exponentielle pour multiplier, diviser, élever à une puissance.

Exemple : $(1 + i)^{10} = (\sqrt2)^{10}e^{10i\pi/4} = 32e^{5i\pi/2} = 32e^{i\pi/2} = 32i$ ; $(1 + i)(\sqrt3 + i) = \sqrt2e^{i\pi/4}\cdot 2e^{i\pi/6} = 2\sqrt2\,e^{5i\pi/12}$ .

Méthode 4 — linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ .

Remplacer $\cos\theta$ par $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ ou $\sin\theta$ par $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ (Théorème 5).
Développer avec la formule du binôme.
Regrouper les termes conjugués $e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)$ (ou $e^{ik\theta} - e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta)$ ). Utile pour calculer intégrales et primitives.

Exemple : $\cos^2\theta = \frac{e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}}{4} = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ ; $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4}$ ; et $\int_0^{\pi/2}\cos^3 t\,\mathrm dt = \int_0^{\pi/2}\frac{\cos 3t + 3\cos t}{4}\,\mathrm dt = \frac23$ .

Méthode 5 — exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

Écrire $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta) = (\cos\theta + i\sin\theta)^n$ (Théorème 6, Moivre).
Développer avec le binôme et identifier parties réelle et imaginaire.
Si besoin, remplacer $\sin^2\theta$ par $1 - \cos^2\theta$ .

Exemple ( $n = 3$ ) : $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ et $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ .

Méthode 6 — technique de l’angle moitié et sommes trigonométriques.

Factoriser par l’exponentielle de l’angle moitié : $1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}\right) = 2\cos\dfrac{\theta}{2}\,e^{i\theta/2}$ ; de même $e^{ia} + e^{ib} = 2\cos\dfrac{a - b}{2}\,e^{i(a+b)/2}$ .
Pour $S = \sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)$ : écrire $S = \text{Re}\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}\right)$ , somme géométrique de raison $e^{i\theta}$ , puis simplifier $\dfrac{1 - e^{i(n+1)\theta}}{1 - e^{i\theta}}$ avec l’angle moitié.

Exemple : $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$ s’obtient en prenant la partie réelle de $e^{ia} + e^{ib}$ .

Méthode 7 — déterminer des valeurs trigonométriques exactes par double calcul.

Calculer un même nombre $z$ de deux façons : en forme exponentielle (Méthode 3) et en forme algébrique (Méthode 1 du chapitre précédent pour un quotient).
Écrire $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et identifier parties réelle et imaginaire.
En déduire $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

Exemple : $z = \frac{1 + i}{\sqrt3 - i} = \frac{\sqrt2}{2}e^{5i\pi/12}$ (exponentielle) et $z = \frac{\sqrt3 - 1}{4} + i\frac{\sqrt3 + 1}{4}$ (algébrique), d’où $\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ et $\sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ .

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

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