Quiz — Forme trigonométrique et exponentielle

Question 1 : Quel est un argument de $z = -1 + i$ ?

• $\dfrac{\pi}{4}$
• ✓ $\dfrac{3\pi}{4}$
• $-\dfrac{\pi}{4}$
• $\dfrac{5\pi}{4}$

Explication : **Méthode 1 — passer à la forme trigonométrique** : $|z| = \sqrt2$, et d'après le **Théorème 1 (caractérisation de l'argument)**, $\cos\theta = -\frac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt2}{2}$. Le seul angle vérifiant **les deux** conditions est $\theta = \frac{3\pi}{4}$ : option B. L'image de $z$ est dans le deuxième quadrant, ce qui exclut $\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{\pi}{4}$ ; $\frac{5\pi}{4}$ correspond à $-1 - i$.

Question 2 : Quelle est la forme exponentielle de $z = -2i$ ?

• $2e^{i\pi/2}$
• $-2e^{i\pi/2}$
• ✓ $2e^{-i\pi/2}$
• $2e^{i\pi}$

Explication : **Méthode 1 — passer à la forme exponentielle** : $|-2i| = 2$ et $-2i = 2(0 - i) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 2e^{-i\pi/2}$ : option C. D'après la **Définition 4 (forme exponentielle)**, le module doit être strictement positif : l'écriture $-2e^{i\pi/2}$ est correcte numériquement mais n'est pas une forme exponentielle.

Question 3 : Quelle est la forme algébrique de $2e^{2i\pi/3}$ ?

• ✓ $-1 + i\sqrt3$
• $1 + i\sqrt3$
• $-1 - i\sqrt3$
• $\sqrt3 - i$

Explication : **Méthode 2 — passer à la forme algébrique** : d'après la **Définition 3 (exponentielle imaginaire)**, $2e^{2i\pi/3} = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right) = -1 + i\sqrt3$ : option A.

Question 4 : Que vaut $(\sqrt3 + i)^6$ ?

• $64$
• ✓ $-64$
• $64i$
• $-64i$

Explication : **Méthode 3 — calculer une puissance en forme exponentielle** : d'abord la **Méthode 1** : $|\sqrt3 + i| = 2$ et $\sqrt3 + i = 2\left(\frac{\sqrt3}{2} + \frac12 i\right) = 2e^{i\pi/6}$. Puis, d'après le **Théorème 4 (règles en forme exponentielle)** : $(\sqrt3 + i)^6 = 2^6 e^{6i\pi/6} = 64e^{i\pi} = -64$ : option B.

Question 5 : Linéariser $\cos^3\theta$.

• $\cos^3\theta = \dfrac{\cos 3\theta + \cos\theta}{2}$
• $\cos^3\theta = \dfrac{3\cos 3\theta + \cos\theta}{4}$
• $\cos^3\theta = \cos 3\theta$
• ✓ $\cos^3\theta = \dfrac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}$

Explication : **Méthode 4 — linéariser avec les formules d'Euler** : d'après le **Théorème 5 (formules d'Euler)**, $\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} = \frac{2\cos 3\theta + 6\cos\theta}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}$ : option D. Vérification en $\theta = 0$ : $1 = \frac{1 + 3}{4}$.

Question 6 : D'après la formule de Moivre, $\cos 3\theta$ est égal à :

• ✓ $4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
• $3\cos\theta - 4\cos^3\theta$
• $3\cos^3\theta - 4\cos\theta$
• $\cos^3\theta - \sin^3\theta$

Explication : **Méthode 5 — exprimer $\cos(n\theta)$ avec Moivre** : d'après le **Théorème 6 (formule de Moivre)**, $\cos 3\theta = \text{Re}\left((\cos\theta + i\sin\theta)^3\right)$. Le binôme donne $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$, d'où $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ : option A.

Question 7 : Sur la figure, $M$ est sur le cercle trigonométrique et a pour coordonnées $\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\,;\dfrac12\right)$. Quelle est l'affixe de $M$ ?

• $e^{i\pi/6}$
• ✓ $e^{5i\pi/6}$
• $e^{-5i\pi/6}$
• $e^{2i\pi/3}$

Explication : Le module vaut 1 et, d'après le **Théorème 1 (caractérisation de l'argument)**, $\cos\theta = -\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta = \frac12$ : $\theta = \frac{5\pi}{6}$. D'après la **Définition 3 (exponentielle imaginaire)**, $z_M = e^{5i\pi/6}$ : option B. L'angle $\frac{2\pi}{3}$ donnerait $\cos = -\frac12$, et $-\frac{5\pi}{6}$ un point sous l'axe réel.

Question 8 : Soit $z = 3e^{i\pi/5}$. Quelle est la forme exponentielle de $-\bar z$ ?

• $3e^{-i\pi/5}$
• $-3e^{-i\pi/5}$
• ✓ $3e^{4i\pi/5}$
• $3e^{6i\pi/5}$

Explication : D'après le **Théorème 4 (règles en forme exponentielle)**, $\bar z = 3e^{-i\pi/5}$ (conjuguer change $\theta$ en $-\theta$) et $-1 = e^{i\pi}$, donc $-\bar z = 3e^{i\pi}e^{-i\pi/5} = 3e^{i(\pi - \pi/5)} = 3e^{4i\pi/5}$ par le **Théorème 3 (relation fonctionnelle)** : option C. $-3e^{-i\pi/5}$ n'est pas une forme exponentielle (module négatif, **Définition 4**). Géométriquement, $-\bar z$ est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe imaginaire.

Question 9 : Que vaut $e^{i\pi/3} + e^{-i\pi/3}$ ?

• $0$
• $2$
• $i\sqrt3$
• ✓ $1$

Explication : D'après le **Théorème 5 (formules d'Euler)**, $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$. Ici $2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac12 = 1$ : option D. Les parties imaginaires $\pm\frac{\sqrt3}{2}$ se compensent.

Question 10 : Question type bac. On pose $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt3 - i}$. Sa forme exponentielle est $z = \dfrac{\sqrt2}{2}e^{5i\pi/12}$ et sa forme algébrique est $z = \dfrac{\sqrt3 - 1}{4} + i\dfrac{\sqrt3 + 1}{4}$. En déduire $\cos\dfrac{5\pi}{12}$.

• $\dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$
• $\dfrac{\sqrt3 - 1}{4}$
• $\dfrac{\sqrt2}{4}$
• ✓ $\dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$

Explication : **Méthode 7 — valeurs trigonométriques exactes par double calcul** : on écrit $z = \frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$ (**Définition 2**) et on identifie les parties réelles : $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt3 - 1}{4}$, donc $\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} \approx 0{,}259$ : option D. Cohérent : $\frac{5\pi}{12} = 75°$, cosinus petit et positif. De même $\sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$.