Comment démontrer un alignement ou une orthogonalité avec les nombres complexes ?

On calcule le quotient $\frac{c - a}{b - a}$ (affixes de $C, A, B$, avec $A \neq B$). Son argument est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ et son module vaut $\frac{AC}{AB}$. Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si ce quotient est réel ; les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si il est imaginaire pur non nul.

Comment déterminer toutes les solutions de $z^n = 1$ ?

On cherche $z$ sous forme exponentielle $z = re^{i\theta}$ avec $r > 0$. Alors $z^n = r^ne^{in\theta} = 1 = 1 \cdot e^{i0}$ impose $r^n = 1$, donc $r = 1$, et $n\theta \equiv 0 \ [2\pi]$, soit $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ avec $k$ entier. Les valeurs $k = 0, 1, \ldots, n - 1$ donnent $n$ nombres distincts $e^{2ik\pi/n}$ ; les autres valeurs de $k$ redonnent les mêmes. Ce sont les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité, sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

Comment trouver l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant une condition sur $z$ ?

On traduit géométriquement : $|z - a| = r$ est le cercle de centre $A(a)$ et de rayon $r$ ; $|z - a| = |z - b|$ est la médiatrice de $[AB]$ ; $\frac{z - a}{z - b}$ réel (avec $z \neq b$) donne la droite $(AB)$ privée de $B$ ; $\frac{z - a}{z - b}$ imaginaire pur non nul donne le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$. En cas de doute, on pose $z = x + iy$ et on obtient une équation cartésienne.

Nombres complexes et géométrie

Définitions

Définition 1 — affixe d’un vecteur, distance et angle. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O\,;\vec u, \vec v)$ . Pour des points $A(a)$ et $B(b)$ : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $b - a$ ; la distance vaut $AB = |b - a|$ ; si $A \neq B$ , $\arg(b - a)$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec u, \overrightarrow{AB})$ . Pour deux vecteurs non nuls $\vec w(z)$ et $\vec w'(z')$ : $(\vec w, \vec w') = \arg\dfrac{z'}{z}$ (modulo $2\pi$ ), d’après la relation de Chasles sur les angles orientés.

Définition 2 — racines $n$ -ièmes de l’unité. Soit $n \geq 1$ . Une racine $n$ -ième de l’unité est un nombre complexe $z$ tel que $z^n = 1$ . L’ensemble de ces nombres est noté $\mathbb{U}_n$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (module et argument du quotient). (démonstration exigible) Soit $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ trois points avec $B \neq A$ et $C \neq A$ . Alors :

$\left|\frac{c - a}{b - a}\right| = \frac{AC}{AB} \qquad\text{et}\qquad \arg\frac{c - a}{b - a} = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \ \ [2\pi]$

Démonstration : le module d’un quotient est le quotient des modules, $\dfrac{|c - a|}{|b - a|} = \dfrac{AC}{AB}$ ; l’argument d’un quotient est la différence des arguments, $\arg(c - a) - \arg(b - a) = (\vec u, \overrightarrow{AC}) - (\vec u, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ par la relation de Chasles. $\square$

Plus généralement, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \arg\dfrac{d - c}{b - a}$ .

Théorème 2 (alignement et orthogonalité). Avec $q = \dfrac{c - a}{b - a}$ ( $A \neq B$ , $A \neq C$ ) :

Propriété géométrique	Condition sur $q$
$A, B, C$ alignés	$q \in \mathbb{R}$ (argument $0$ ou $\pi$ )
$(AB) \perp (AC)$ , triangle rectangle en $A$	$q$ imaginaire pur non nul (argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$ )
Triangle isocèle en $A$	$
Triangle rectangle isocèle en $A$	$q = i$ ou $q = -i$
Triangle équilatéral	$q = e^{i\pi/3}$ (direct) ou $q = e^{-i\pi/3}$ (indirect)
$B$ milieu de $[AC]$	$q = 2$

Théorème 3 (ensembles de points). Pour $A(a)$ , $B(b)$ ( $A \neq B$ ), $r > 0$ et $M(z)$ :

Condition	Ensemble des points $M$
$\\|z - a\\| = r$	Cercle de centre $A$ et de rayon $r$
$\\|z - a\\| = \\|z - b\\|$	Médiatrice de $[AB]$
$\dfrac{z - a}{z - b} \in \mathbb{R}$ , $z \neq b$	Droite $(AB)$ privée de $B$
$\dfrac{z - a}{z - b}$ imaginaire pur non nul	Cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$
$\arg(z - a) \equiv \theta \ [2\pi]$	Demi-droite d’origine $A$ (privée de $A$ ) dirigée par $e^{i\theta}$

Théorème 4 (transformations usuelles). Dans le plan complexe :

translation de vecteur $\vec w(w)$ : $z' = z + w$ ;
homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ : $z' - \omega = k(z - \omega)$ ;
rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d’angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .

Pour la rotation : $\Omega M' = \Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) = \theta$ se traduisent par $\dfrac{z' - \omega}{z - \omega} = e^{i\theta}$ (Théorème 1). Plus généralement, $z \mapsto az + b$ avec $a \in \mathbb{C}^*$ multiplie les longueurs par $|a|$ et ajoute $\arg a$ aux angles orientés : c’est une similitude directe.

Théorème 5 (description de $\mathbb{U}_n$ ). (démonstration exigible) Pour tout $n \geq 1$ :

$\mathbb{U}_n = \left\{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, 1, \ldots, n - 1\right\}$

et ces $n$ nombres sont deux à deux distincts. Leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point $1$ . Cas particuliers : $\mathbb{U}_2 = \{1, -1\}$ ; $\mathbb{U}_3 = \{1, j, j^2\}$ avec $j = e^{2i\pi/3} = -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}$ et $j^2 = \bar j$ ; $\mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\}$ .

Démonstration : $0$ n’est pas solution ; pour $z = re^{i\theta}$ ( $r > 0$ ), $z^n = r^ne^{in\theta} = 1 \cdot e^{i0}$ équivaut à $r^n = 1$ (donc $r = 1$ ) et $n\theta = 2k\pi$ , soit $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ , $k \in \mathbb{Z}$ . La division euclidienne $k = qn + k'$ ( $0 \leq k' \leq n - 1$ ) montre qu’il suffit de prendre $k \in \{0, \ldots, n - 1\}$ , et pour $0 \leq k < k' \leq n - 1$ on a $0 < \frac{2k'\pi}{n} - \frac{2k\pi}{n} < 2\pi$ , donc les $n$ nombres sont distincts. $\square$

Théorème 6 (propriétés de $\mathbb{U}_n$ ).

$\mathbb{U}_n$ est stable par produit et par inverse : si $z^n = z'^n = 1$ , alors $(zz')^n = 1$ et $\left(\dfrac1z\right)^n = 1$ ; de plus $\dfrac1z = \bar z$ .
Pour $n \geq 2$ , la somme des racines $n$ -ièmes de l’unité est nulle : $1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$ avec $\omega = e^{2i\pi/n}$ . (démonstration exigible)

Démonstration (somme) : comme $\omega \neq 1$ , la somme géométrique vaut $\dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = \dfrac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ . $\square$ Géométriquement, l’isobarycentre des sommets d’un polygone régulier est son centre $O$ . Exemples : $1 + j + j^2 = 0$ ; $1 + i + (-1) + (-i) = 0$ .

Méthodes

Méthode 1 — déterminer la nature d’un triangle.

Calculer $q = \dfrac{c - a}{b - a}$ sous forme algébrique (multiplier par le conjugué du dénominateur), puis reconnaître si possible une forme exponentielle.
Lire le module ( $\dfrac{AC}{AB}$ ) et l’argument (angle en $A$ ) grâce au Théorème 1.
Conclure avec le tableau du Théorème 2 : réel = alignés, imaginaire pur = angle droit, $|q| = 1$ = isocèle, $q = e^{\pm i\pi/3}$ = équilatéral.

Exemple : $A(0)$ , $B(2)$ , $C(2i)$ : $q = \dfrac{2i}{2} = i = e^{i\pi/2}$ , donc $AC = AB$ et angle droit en $A$ : triangle rectangle isocèle en $A$ .

Méthode 2 — déterminer un ensemble de points.

Mettre la condition sous l’une des formes du Théorème 3 (attention aux signes : $z - 2 + i = z - (2 - i)$ ).
Traduire géométriquement : cercle, médiatrice, droite, cercle de diamètre $[AB]$ .
Si aucune forme ne se reconnaît, poser $z = x + iy$ et obtenir une équation cartésienne.

Exemple : $|z - 2 + i| = 3$ est le cercle de centre $\Omega(2 - i)$ et de rayon $3$ ; $|z - 1| = |z + i|$ donne $(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+1)^2$ , soit $y = -x$ : la médiatrice attendue.

Méthode 3 — utiliser une rotation.

Écrire la formule du Théorème 4 : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .
Remplacer et développer pour obtenir $z'$ sous forme algébrique.
Vérifier : une rotation conserve les distances ( $\Omega M' = \Omega M$ ).

Exemple : image de $B(2 + i)$ par la rotation de centre $A(1)$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ : $z' = 1 + i(2 + i - 1) = 1 + i(1 + i) = i$ . Cas utiles : $z \mapsto iz$ (rotation de centre $O$ , angle $\frac{\pi}{2}$ ), $z \mapsto -z$ (symétrie centrale), $z \mapsto \bar z$ (symétrie d’axe réel).

Méthode 4 — résoudre $z^n = a$ ( $a \neq 0$ ).

Écrire $a = \rho e^{i\varphi}$ ( $\rho > 0$ ) et chercher $z = re^{i\theta}$ avec $r > 0$ .
Identifier : $r^n = \rho$ donne $r = \rho^{1/n}$ , et $n\theta \equiv \varphi \ [2\pi]$ donne $\theta = \dfrac{\varphi + 2k\pi}{n}$ .
Garder $k = 0, \ldots, n - 1$ : les $n$ solutions sont une solution particulière multipliée par les éléments de $\mathbb{U}_n$ .

Exemple : $z^3 = 8$ : $z_0 = 2$ , puis $2j = -1 + i\sqrt3$ et $2j^2 = -1 - i\sqrt3$ , cohérent avec $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$ .

Méthode 5 — calculer $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ avec la somme des racines.

Écrire la somme nulle des racines cinquièmes (Théorème 6) : $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ avec $\omega = e^{2i\pi/5}$ .
Regrouper les termes conjugués ( $\omega^4 = \bar\omega$ , $\omega^3 = \overline{\omega^2}$ ) : $1 + 2\cos\dfrac{2\pi}{5} + 2\cos\dfrac{4\pi}{5} = 0$ .
Poser $c = \cos\dfrac{2\pi}{5}$ et utiliser $\cos\dfrac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$ : on obtient $4c^2 + 2c - 1 = 0$ , dont la racine positive est $c = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4} \approx 0{,}309$ .

Exemple : cette valeur, construite avec une racine carrée, explique que le pentagone régulier soit constructible à la règle et au compas (Éléments d’Euclide, livre IV). La même méthode donne les racines $n$ -ièmes d’un nombre complexe quelconque.

Définitions

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Méthodes

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