Quiz — Nombres complexes et géométrie

Question 1 : Soit $A(1 + i)$, $B(3 + 3i)$ et $C(5 + 5i)$. Que peut-on dire des points $A$, $B$, $C$ ?

• ✓ Ils sont alignés
• $ABC$ est rectangle en $A$
• $ABC$ est équilatéral
• $ABC$ est isocèle en $B$ et non aplati

Explication : **Méthode 1 — déterminer la nature d'un triangle** : on calcule $\frac{c - a}{b - a} = \frac{4 + 4i}{2 + 2i} = 2$, nombre réel. D'après le **Théorème 2 (alignement et orthogonalité)**, les points $A, B, C$ sont alignés : option A. De plus $c - a = 2(b - a)$ donne $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ : $B$ est le milieu de $[AC]$.

Question 2 : Soit $A(0)$, $B(2)$ et $C(2i)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

• Équilatéral
• Aplati
• ✓ Rectangle isocèle en $A$
• Rectangle en $B$

Explication : **Méthode 1 — déterminer la nature d'un triangle** : $\frac{c - a}{b - a} = \frac{2i}{2} = i = e^{i\pi/2}$. D'après le **Théorème 1 (module et argument du quotient)**, le module $1$ donne $AC = AB$ (isocèle en $A$) et l'argument $\frac{\pi}{2}$ donne un angle droit en $A$ (**Théorème 2 (alignement et orthogonalité)** : quotient imaginaire pur). Le triangle est rectangle isocèle en $A$ : option C.

Question 3 : Soit $A(1)$, $B(3)$ et $C(2 + i\sqrt3)$. Quelle est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ ?

• $\dfrac{\pi}{6}$
• ✓ $\dfrac{\pi}{3}$
• $\dfrac{\pi}{2}$
• $\dfrac{2\pi}{3}$

Explication : D'après le **Théorème 1 (module et argument du quotient)**, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\frac{c - a}{b - a}$. Or $\frac{c - a}{b - a} = \frac{1 + i\sqrt3}{2} = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} = e^{i\pi/3}$ : l'angle vaut $\frac{\pi}{3}$, option B. Comme le module vaut $1$, on a aussi $AC = AB$ : la **Méthode 1 — déterminer la nature d'un triangle** conclut que $ABC$ est équilatéral direct.

Question 4 : Soit $A(2)$ et $B(2i)$. Quel est l'ensemble des points $M(z)$, $z \neq 2i$, tels que $\dfrac{z - 2}{z - 2i}$ soit imaginaire pur non nul ?

• La médiatrice de $[AB]$
• La droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$
• Le cercle de centre $O$ et de rayon 2
• ✓ Le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$

Explication : **Méthode 2 — déterminer un ensemble de points** : le quotient $\frac{z - 2}{z - 2i}$ a pour argument l'angle $(\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA})$ (**Théorème 1 (module et argument du quotient)**). Il est imaginaire pur non nul si et seulement si cet angle vaut $\pm\frac{\pi}{2}$, c'est-à-dire si $AMB$ est rectangle en $M$. D'après le **Théorème 3 (ensembles de points)**, $M$ décrit le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ : option D.

Question 5 : Quel est l'ensemble $\mathbb{U}_4$ des racines quatrièmes de l'unité ?

• $\{1, -1\}$
• $\{1, i\}$
• ✓ $\{1, i, -1, -i\}$
• $\{1, e^{i\pi/4}, i, e^{3i\pi/4}\}$

Explication : D'après le **Théorème 5 (description de $\mathbb{U}_n$)**, les racines quatrièmes de l'unité sont les $e^{2ik\pi/4} = e^{ik\pi/2}$ pour $k = 0, 1, 2, 3$, soit $1, i, -1, -i$ : option C. Ce sont les sommets d'un carré inscrit dans le cercle trigonométrique. Vérification directe : $z^4 - 1 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i)$.

Question 6 : Soit $j = e^{2i\pi/3}$. Que vaut $1 + j + j^2$ ?

• ✓ $0$
• $1$
• $3$
• $-1$

Explication : D'après le **Théorème 6 (propriétés de $\mathbb{U}_n$)**, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité est nulle pour $n \geq 2$ ; ici $1 + j + j^2 = \frac{1 - j^3}{1 - j} = 0$ car $j^3 = 1$ : option A. Vérification : $j = -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}$, $j^2 = \bar j = -\frac12 - i\frac{\sqrt3}{2}$, et $1 - \frac12 - \frac12 = 0$. Géométriquement, le centre de gravité du triangle équilatéral $1, j, j^2$ est $O$.

Question 7 : La figure représente les racines cinquièmes de l'unité $M_0, \ldots, M_4$, avec $M_0(1)$ et les points numérotés dans le sens direct. Quelle est l'affixe de $M_2$ ?

• $e^{2i\pi/5}$
• ✓ $e^{4i\pi/5}$
• $e^{-4i\pi/5}$
• $e^{i\pi/5}$

Explication : D'après le **Théorème 5 (description de $\mathbb{U}_n$)**, les racines cinquièmes sont $\omega^k = e^{2ik\pi/5}$ pour $k = 0, \ldots, 4$, sommets d'un pentagone régulier. Pour $k = 2$, l'affixe est $e^{4i\pi/5}$, dont l'argument $\frac{4\pi}{5} = 144^\circ$ correspond bien au point du deuxième quadrant : option B. $e^{-4i\pi/5}$ est l'affixe de $M_3$ (symétrique par rapport à l'axe réel).

Question 8 : Combien l'équation $z^6 = 1$ admet-elle de solutions dans $\mathbb{C}$ ?

• $1$
• $2$
• ✓ $6$
• $12$

Explication : D'après le **Théorème 5 (description de $\mathbb{U}_n$)**, l'équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions deux à deux distinctes : ici les six racines sixièmes $e^{ik\pi/3}$, $k = 0, \ldots, 5$, sommets d'un hexagone régulier, option C. Il ne peut pas y en avoir plus car un polynôme de degré 6 a au plus 6 racines. Sur $\mathbb{R}$, seules $1$ et $-1$ conviennent.

Question 9 : Soit $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ trois points tels que $\dfrac{c - a}{b - a} = -2$. Que peut-on affirmer ?

• ✓ $A, B, C$ sont alignés et $A$ est entre $B$ et $C$
• $ABC$ est rectangle en $A$
• $B$ est le milieu de $[AC]$
• $A, B, C$ sont alignés et $B$ est entre $A$ et $C$

Explication : Le quotient $-2$ est réel : d'après le **Théorème 2 (alignement et orthogonalité)**, les points sont alignés. $c - a = -2(b - a)$ signifie $\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{AB}$ : vecteurs colinéaires de sens contraires, avec $AC = 2AB$ (**Théorème 1 (module et argument du quotient)** : module $2$, argument $\pi$, angle plat en $A$). Donc $A$ est situé entre $B$ et $C$ : option A.

Question 10 : Question type bac. Soit $A(1)$ et $B(2 + i)$. Quelle est l'affixe du point $B'$, image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ?

• $1 + i$
• $-i$
• $2i$
• ✓ $i$

Explication : **Méthode 3 — utiliser une rotation** : d'après le **Théorème 4 (transformations usuelles)**, $z_{B'} - z_A = e^{i\pi/2}(z_B - z_A) = i(2 + i - 1) = i(1 + i) = -1 + i$. Donc $z_{B'} = 1 + (-1 + i) = i$ : option D. Vérification : $AB' = |i - 1| = \sqrt2 = |1 + i| = AB$ et $\frac{z_{B'} - z_A}{z_B - z_A} = i$, d'argument $\frac{\pi}{2}$ (**Théorème 1**).