Comment calculer l'inverse ou le quotient de deux nombres complexes ?

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\frac{z}{z'} = \frac{z\,\overline{z'}}{z'\overline{z'}} = \frac{z\,\overline{z'}}{|z'|^2}$. Le dénominateur devient le réel strictement positif $|z'|^2$ et on peut lire les parties réelle et imaginaire. Exemple : $\frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{5} = \frac15 - \frac25 i$.

Comment résoudre une équation qui contient à la fois $z$ et $\bar z$ ?

On pose $z = a + ib$ avec $a, b$ réels, donc $\bar z = a - ib$. On développe, puis on identifie parties réelle et imaginaire des deux membres : on obtient un système de deux équations réelles d'inconnues $a$ et $b$. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Pourquoi $|z|^2 = z\bar z$ est-elle une relation si utile ?

Parce qu'elle transforme un module (une racine carrée) en un produit algébrique. Elle permet de démontrer $|zz'| = |z||z'|$ sans calcul de coordonnées, de calculer un inverse ($\frac1z = \frac{\bar z}{|z|^2}$), et de montrer que si $|z| = 1$ alors $\bar z = \frac1z$.

Nombres complexes — forme algébrique

Définitions

Définition 1 — forme algébrique, parties réelle et imaginaire. Tout nombre complexe s’écrit de manière unique $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ : c’est sa forme algébrique. On note $a = \text{Re}(z)$ (partie réelle) et $b = \text{Im}(z)$ (partie imaginaire — c’est le réel $b$ , pas $ib$ ). $z$ est réel $\iff \text{Im}(z) = 0$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \text{Re}(z) = 0$ . Identification : $a + ib = c + id \iff a = c$ et $b = d$ ; en particulier $z = 0 \iff a = b = 0$ .

Exemples : $\text{Re}(3 - 2i) = 3$ , $\text{Im}(3 - 2i) = -2$ ; $\text{Im}(5) = 0$ ; $\text{Re}(-i) = 0$ .

Définition 2 — conjugué. Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$ . On a $\bar{\bar z} = z$ , et : $z$ est réel $\iff \bar z = z$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \bar z = -z$ .

Définition 3 — module. Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Pour un réel, il coïncide avec la valeur absolue. On a $|z| = 0 \iff z = 0$ et $|\bar z| = |-z| = |z|$ .

Définition 4 — ensemble $\mathbb{U}$ . $\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} \ ;\ |z| = 1\}$ est l’ensemble des nombres complexes de module 1. Ses images forment le cercle trigonométrique.

Exemples : $i$ , $-1$ , $\frac{1+i}{\sqrt2}$ , $\frac{3+4i}{5}$ sont dans $\mathbb{U}$ ; $1 + i$ n’y est pas ( $|1+i| = \sqrt2$ ).

Définition 5 — image et affixe. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\,;\vec u, \vec v)$ , le point image de $z = a + ib$ est $M(a\,;b)$ et $z$ est l’affixe de $M$ ; le vecteur $\vec w = a\vec u + b\vec v$ a pour affixe $z$ . L’axe des abscisses est l’axe réel, l’axe des ordonnées l’axe imaginaire.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (existence de ℂ) (admis). Il existe un ensemble $\mathbb{C}$ , contenant $\mathbb{R}$ , muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ avec les mêmes règles de calcul (commutativité, associativité, distributivité, identités remarquables, binôme), et contenant un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ . Pour $z = a + ib$ et $z' = c + id$ :

$z + z' = (a + c) + i(b + d) \qquad zz' = (ac - bd) + i(ad + bc)$

Un produit nul a un facteur nul. Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4 : $i^0 = 1$ , $i^1 = i$ , $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ …

Théorème 2 (formule du binôme) (démonstration exigible, par récurrence avec la relation de Pascal). Pour $z, z' \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$ :

$(z + z')^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^k z'^{\,n-k}$

Exemple : $(1 + i)^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4$ .

Théorème 3 (propriétés du conjugué) (démonstrations exigibles : produit par calcul direct, inverse en conjuguant $z \times \frac1z = 1$ , puissance par récurrence). Pour $z, z' \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$ :

$\overline{z + z'} = \bar z + \overline{z'} \qquad \overline{zz'} = \bar z\,\overline{z'} \qquad \overline{\left(\frac1z\right)} = \frac{1}{\bar z} \ (z \neq 0) \qquad \overline{z^n} = \bar z^{\,n}$

De plus : $z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)$ , $z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)$ et $z\bar z = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}_+$ .

Théorème 4 (relation $|z|^2 = z\bar z$ ). (démonstration exigible) Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $|z|^2 = z\bar z$ . En effet $z\bar z = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$ . Cette relation transforme un module en produit algébrique : c’est la clé des démonstrations sur le module et du calcul d’inverse.

Théorème 5 (propriétés du module) (démonstration exigible pour le produit : $|zz'|^2 = zz'\overline{zz'} = (z\bar z)(z'\overline{z'}) = |z|^2|z'|^2$ ). Pour $z, z' \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$ :

$|zz'| = |z||z'| \qquad |z^n| = |z|^n \qquad \left|\frac1z\right| = \frac{1}{|z|} \qquad \left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$

Piège : le module n’est pas additif. On a seulement l’inégalité triangulaire $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ , avec égalité si et seulement si $z' = 0$ ou $z = kz'$ avec $k$ réel positif.

Théorème 6 (stabilité de $\mathbb{U}$ ). (démonstration exigible) Si $z, z' \in \mathbb{U}$ , alors $zz' \in \mathbb{U}$ et $\dfrac1z \in \mathbb{U}$ : $\mathbb{U}$ est stable par produit et par passage à l’inverse. De plus, pour $z \in \mathbb{U}$ : $\dfrac1z = \bar z$ (car $z\bar z = |z|^2 = 1$ ).

Théorème 7 (affixes et géométrie). Dans le plan complexe : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$ ; $|z| = OM$ et $AB = |z_B - z_A|$ (le module est une distance) ; le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A + z_B}{2}$ ; l’image de $\bar z$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l’axe réel, celle de $-z$ le symétrique par rapport à $O$ .

Exemple : $A(1 + 2i)$ , $B(4 - 2i)$ : $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $3 - 4i$ , $AB = |3 - 4i| = 5$ et le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac52$ .

Méthodes

Méthode 1 — mettre un quotient sous forme algébrique.

Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Le dénominateur devient le réel $|z'|^2 = z'\overline{z'}$ (Théorème 4).
Développer le numérateur et séparer parties réelle et imaginaire. En particulier $\dfrac1z = \dfrac{\bar z}{|z|^2} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2}$ .

Exemple : $\dfrac{3 + i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + i)(1 + 2i)}{1 + 4} = \dfrac{1 + 7i}{5} = \dfrac15 + \dfrac75 i$ .

Méthode 2 — résoudre une équation $az = b$ ( $a \neq 0$ ).

Isoler : l’unique solution est $z = \dfrac{b}{a}$ .
Mettre sous forme algébrique avec la Méthode 1.

Exemple : $(1 + i)z = 3 - i \iff z = \dfrac{3 - i}{1 + i} = \dfrac{(3 - i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$ .

Méthode 3 — résoudre une équation en $z$ et $\bar z$ .

Poser $z = a + ib$ avec $a, b$ réels, donc $\bar z = a - ib$ .
Développer et regrouper le membre de gauche sous forme algébrique.
Identifier parties réelle et imaginaire (Définition 1) : on obtient un système en $a$ et $b$ .

Exemple : $2z + \bar z = 6 + 3i$ : avec $z = a + ib$ , $2z + \bar z = 3a + ib$ , donc $3a = 6$ et $b = 3$ : $z = 2 + 3i$ . Attention, un coefficient imaginaire mélange $a$ et $b$ : $z + 2i\bar z = 1 + i$ donne $(a + 2b) + i(2a + b) = 1 + i$ , d’où $a = b = \frac13$ .

Méthode 4 — calculer une puissance de $i$ .

Réduire l’exposant modulo 4 : $i^n = i^r$ où $r$ est le reste de la division de $n$ par 4.
Conclure avec $i^0 = 1$ , $i^1 = i$ , $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ .

Exemple : $2023 = 4 \times 505 + 3$ , donc $i^{2023} = i^3 = -i$ .

Méthode 5 — calculer un module sans forme algébrique.

Décomposer l’expression en produits, quotients et puissances.
Appliquer le Théorème 5 à chaque morceau, plutôt que de tout développer.

Exemple : $\left|\dfrac{3 + 4i}{1 - i}\right| = \dfrac{|3 + 4i|}{|1 - i|} = \dfrac{5}{\sqrt2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}$ , sans calculer le quotient.

Méthode 6 — décrire un ensemble de points.

Interpréter chaque module comme une distance (Théorème 7) : $|z - \omega| = AM$ où $A$ est le point d’affixe $\omega$ .
Reconnaître l’ensemble : $|z - \omega| = r$ est le cercle de centre $A(\omega)$ et de rayon $r$ ; $|z - \omega| = |z - \omega'|$ est la médiatrice du segment joignant $A(\omega)$ et $B(\omega')$ .

Exemple : $|z - 2| = 3$ : cercle de centre $\Omega(2)$ et de rayon 3 ; $|z - i| = |z + 1|$ : médiatrice du segment joignant les points d’affixes $i$ et $-1$ .

Méthode 7 — étudier une suite complexe $z_{n+1} = az_n + b$ ( $a \neq 1$ ).

Chercher le point fixe $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$ (mettre $\omega$ sous forme algébrique avec la Méthode 1).
Montrer que $z_{n+1} - \omega = a(z_n - \omega)$ , d’où $z_n = \omega + a^n(z_0 - \omega)$ .
Si $|a| < 1$ : $|z_n - \omega| = |a|^n|z_0 - \omega| \to 0$ (Théorème 5), les points $M_n$ se rapprochent de $\Omega(\omega)$ .

Exemple : $z_0 = 4$ , $z_{n+1} = \frac{i}{2}z_n + 1$ : $\omega = \frac{1}{1 - i/2} = \frac{2(2 + i)}{5} = \frac45 + \frac25 i$ , et $|z_n - \omega| = \left(\frac12\right)^n|4 - \omega| \to 0$ .

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

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