Quiz — Nombres complexes — forme algébrique

Question 1 : Écrire $(2 + 3i)(1 - i)$ sous forme algébrique.

• ✓ $5 + i$
• $-1 + i$
• $5 - i$
• $2 - 3i$

Explication : D'après le **Théorème 1 (existence de ℂ)**, on développe avec les règles de calcul usuelles puis on remplace $i^2$ par $-1$ : $(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$ : option A. L'erreur classique est d'oublier que $-3i^2 = +3$.

Question 2 : Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{1}{1 + 2i}$ ?

• $1 - 2i$
• $\dfrac{1 + 2i}{5}$
• $1 - \dfrac{1}{2}i$
• ✓ $\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i$

Explication : **Méthode 1 — mettre un quotient sous forme algébrique** : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur (**Définition 2**). D'après le **Théorème 4 ($|z|^2 = z\bar z$)**, le dénominateur devient $|1+2i|^2 = 5$ : $\frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{5} = \frac15 - \frac25 i$ : option D. Vérification : $(1+2i)\left(\frac15 - \frac25 i\right) = \frac15 + \frac45 = 1$.

Question 3 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(1 + i)z = 3 - i$.

• $z = 2 - i$
• $z = 1 + 2i$
• ✓ $z = 1 - 2i$
• $z = -1 - 2i$

Explication : **Méthode 2 — résoudre une équation $az = b$** : l'unique solution est $z = \frac{b}{a} = \frac{3-i}{1+i}$, que l'on met sous forme algébrique avec la **Méthode 1** : $z = \frac{(3-i)(1-i)}{|1+i|^2} = \frac{3 - 3i - i + i^2}{2} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$ : option C. Vérification : $(1+i)(1-2i) = 1 - 2i + i + 2 = 3 - i$.

Question 4 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z + \bar z = 6 + 3i$.

• $z = 3 + 2i$
• $z = 2 - 3i$
• $z = 6 + i$
• ✓ $z = 2 + 3i$

Explication : **Méthode 3 — résoudre une équation en $z$ et $\bar z$** : on pose $z = a + ib$ avec $a, b$ réels (**Définition 2** pour $\bar z = a - ib$). Alors $2z + \bar z = 2a + 2ib + a - ib = 3a + ib$. L'unicité de la forme algébrique (**Théorème 1**) permet d'identifier : $3a = 6$ et $b = 3$, donc $a = 2$ et $z = 2 + 3i$ : option D.

Question 5 : Que vaut le module de $z = \dfrac{3 + 4i}{1 - i}$ ?

• $5\sqrt2$
• ✓ $\dfrac{5\sqrt2}{2}$
• $\dfrac{5}{2}$
• $\dfrac{7}{2}$

Explication : **Méthode 5 — calculer un module sans forme algébrique** : d'après le **Théorème 5 (propriétés du module)**, le module d'un quotient est le quotient des modules. Or $|3+4i| = \sqrt{9+16} = 5$ et $|1-i| = \sqrt2$ (**Définition 3**), donc $|z| = \frac{5}{\sqrt2} = \frac{5\sqrt2}{2}$ : option B. Inutile de calculer la forme algébrique de $z$.

Question 6 : Que vaut $i^{2023}$ ?

• $1$
• $i$
• $-1$
• ✓ $-i$

Explication : **Méthode 4 — calculer une puissance de $i$** : les puissances de $i$ sont périodiques de période 4 car $i^4 = 1$. On réduit l'exposant modulo 4 : $2023 = 4 \times 505 + 3$, donc $i^{2023} = (i^4)^{505} \times i^3 = i^3 = -i$ : option D.

Question 7 : Sur la figure, $A$ a pour affixe $z_A = 2 + 3i$. Quel point a pour affixe $\overline{z_A}$ ?

• $B$
• ✓ $C$
• $D$
• Aucun de ces points

Explication : D'après la **Définition 2 (conjugué)**, $\overline{z_A} = 2 - 3i$, dont l'image est le point de coordonnées $(2\,;-3)$ : c'est $C$, option B. Le **Théorème 7 (affixes et géométrie)** l'exprime géométriquement : l'image du conjugué est le symétrique de l'image par rapport à l'axe réel. $B(-2\,;3)$ a pour affixe $-\overline{z_A}$ et $D(-2\,;-3)$ a pour affixe $-z_A$.

Question 8 : Développer avec la formule du binôme : $(1 + i)^4 = $ ?

• ✓ $-4$
• $4$
• $4i$
• $-4i$

Explication : D'après le **Théorème 2 (formule du binôme)** avec les coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ : $(1+i)^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4$ : option A. Plus rapide, en combinant avec la **Méthode 4** : $(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$.

Question 9 : Parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ et tout $n \in \mathbb{N}$ ?

• $|z + z'| = |z| + |z'|$
• $\text{Re}(zz') = \text{Re}(z)\,\text{Re}(z')$
• ✓ $\overline{z^n} = \bar{z}^{\,n}$
• $|z| = |\text{Re}(z)| + |\text{Im}(z)|$

Explication : D'après le **Théorème 3 (propriétés du conjugué)**, le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, et par récurrence $\overline{z^n} = \bar z^{\,n}$ : option C. Contre-exemples pour les autres : $|1 + i| = \sqrt2 \neq 2$ (le **Théorème 5** ne donne que l'inégalité triangulaire $|z + z'| \leq |z| + |z'|$) ; $\text{Re}(i \cdot i) = -1 \neq 0$ ; $|1 + i| = \sqrt2 \neq 2$.

Question 10 : Soit $z = a + ib$ avec $a, b$ réels. À quelle condition $z^2$ est-il un nombre réel ?

• Si et seulement si $z$ est réel
• ✓ Si et seulement si $z$ est réel ou imaginaire pur
• Si et seulement si $|z| = 1$
• Si et seulement si $a = b$

Explication : On applique le principe d'identification de la **Définition 1** (comme dans la **Méthode 3**) : $z^2 = a^2 - b^2 + 2abi$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire $2ab$ est nulle, c'est-à-dire $a = 0$ (imaginaire pur, alors $z^2 = -b^2 \leq 0$) ou $b = 0$ (réel, alors $z^2 = a^2 \geq 0$) : option B. Par exemple $(3i)^2 = -9$ est réel.