Comment résoudre $\cos x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$ ?

Si $a \notin [-1\,;1]$, pas de solution. Sinon on cherche $\alpha \in [0\,;\pi]$ tel que $\cos\alpha = a$ (valeur remarquable ou calculatrice). Sur $[-\pi\,;\pi]$, les solutions sont $x = \alpha$ et $x = -\alpha$ (une seule si $a = \pm 1$). Sur $\mathbb{R}$, on ajoute les multiples de $2\pi$ : $x = \pm\alpha + 2k\pi$.

Comment résoudre une inéquation $\cos x \leq a$ sur $[-\pi\,;\pi]$ ?

On résout d'abord l'équation $\cos x = a$, qui donne $\pm\alpha$. Sur le cercle trigonométrique, $\cos x \leq a$ correspond aux points d'abscisse inférieure ou égale à $a$, c'est-à-dire à gauche de la droite verticale $x = a$ : on obtient $x \in [-\pi\,;-\alpha] \cup [\alpha\,;\pi]$. Un dessin du cercle ou de la courbe de cos évite les erreurs.

Pourquoi suffit-il d'étudier sinus sur $[0\,;\pi]$ ?

Sinus est impaire ($\sin(-x) = -\sin x$) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, ce qui ramène l'étude sur $[-\pi\,;\pi]$ à $[0\,;\pi]$. Sinus est $2\pi$-périodique : la courbe se déduit par translations de vecteur $2\pi\vec{i}$. Pour cosinus, qui est paire, on utilise la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonctions trigonométriques

Définitions

Définition 1 — cosinus et sinus d’un réel. Dans un repère orthonormé, on enroule la droite des réels sur le cercle trigonométrique (centre $O$ , rayon 1). À tout réel $x$ correspond un point $M$ du cercle, et on pose :

$\cos x = \text{abscisse de } M \qquad \sin x = \text{ordonnée de } M$

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ ainsi définies sur $\mathbb{R}$ sont appelées fonctions trigonométriques ; leurs courbes sont des sinusoïdes.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (relation fondamentale et valeurs remarquables). Pour tout réel $x$ :

$-1 \leq \cos x \leq 1 \qquad -1 \leq \sin x \leq 1 \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1$

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Théorème 2 (parité et périodicité). Pour tout réel $x$ :

Propriété	Formule	Traduction graphique
$\cos$ est paire	$\cos(-x) = \cos x$	courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
$\sin$ est impaire	$\sin(-x) = -\sin x$	courbe symétrique par rapport à l’origine
$2\pi$ -périodicité	$\cos(x + 2\pi) = \cos x$ , $\sin(x + 2\pi) = \sin x$	courbe invariante par translation de vecteur $2\pi\vec i$

Relations associées (lecture sur le cercle) : $\cos(x + \pi) = -\cos x$ , $\sin(x + \pi) = -\sin x$ , $\sin(\pi - x) = \sin x$ , $\cos\left(\frac\pi2 - x\right) = \sin x$ . Grâce à la parité et à la périodicité, il suffit d’étudier $\cos$ et $\sin$ sur $[0\,;\pi]$ .

Théorème 3 (dérivées, admis). Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et

$(\cos x)' = -\sin x \qquad (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos u)' = -u'\sin u \qquad (\sin u)' = u'\cos u$

En particulier $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ et $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ . Variations sur $[-\pi\,;\pi]$ : $\sin$ croît sur $\left[-\frac\pi2\,;\frac\pi2\right]$ (de $-1$ à $1$ ) et décroît ailleurs ; $\cos$ croît sur $[-\pi\,;0]$ (de $-1$ à $1$ ) et décroît sur $[0\,;\pi]$ . Tangentes en 0 : $y = x$ pour $\sin$ , $y = 1$ pour $\cos$ .

Théorème 4 (équations trigonométriques). Soit $\alpha$ un réel et $k \in \mathbb{Z}$ :

$\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = -\alpha + 2k\pi$

$\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - \alpha + 2k\pi$

Si $a \notin [-1\,;1]$ , les équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$ n’ont aucune solution.

Méthodes

Méthode 1 — résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$ . 1. Vérifier $a \in [-1\,;1]$ . 2. Trouver une solution particulière $\alpha$ (valeur remarquable du Théorème 1 ou calculatrice). 3. Appliquer le Théorème 4 et ne garder que les solutions de l’intervalle, en s’aidant du cercle. Exemple : $\cos x = -\frac12$ : $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ , solutions $\pm\frac{2\pi}{3}$ sur $[-\pi\,;\pi]$ . Pour une équation du second degré en $\cos x$ , poser $X = \cos x$ puis résoudre chaque équation $\cos x = X_i$ .

Méthode 2 — résoudre une inéquation $\cos x \leq a$ (ou $\sin x \leq a$ ) sur $[-\pi\,;\pi]$ . 1. Résoudre l’équation associée (Méthode 1). 2. Placer les solutions sur le cercle (ou la courbe). 3. Lire l’arc où l’inégalité est vérifiée : pour $\cos x \leq a$ , les points à gauche de la droite verticale d’abscisse $a$ . Exemple : $\cos x \leq \frac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$ : $S = \left[-\pi\,;-\frac\pi3\right] \cup \left[\frac\pi3\,;\pi\right]$ .

Méthode 3 — dériver une fonction trigonométrique. 1. Repérer la structure (somme, produit, composée $ax + b$ ). 2. Appliquer le Théorème 3 sans oublier le facteur $u'$ ni le signe de $(\cos)' = -\sin$ . Exemple : $(\sin(2x+1))' = 2\cos(2x+1)$ ; $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$ .

Méthode 4 — étudier les variations ou un optimum d’une fonction trigonométrique. 1. Dériver (Méthode 3). 2. Résoudre $f'(x) = 0$ , souvent une équation $\cos x = a$ (Méthode 1). 3. Déterminer le signe de $f'$ sur chaque intervalle (variations de $\cos$ et $\sin$ , ou encadrement $-1 \leq \sin x \leq 1$ du Théorème 1). 4. Dresser le tableau et conclure (extremum, valeur exacte). Exemple : $f(x) = 2\sin x - x$ sur $[0\,;\pi]$ : $f'(x) = 2\cos x - 1$ , maximum en $\frac\pi3$ , $f\left(\frac\pi3\right) = \sqrt3 - \frac\pi3$ .

Méthode 5 — identifier une sinusoïde sur un graphique. 1. Lire la valeur en 0 et l’amplitude (maximum). 2. Tester la parité (symétrie de la courbe, Théorème 2). 3. Lire la période ( $\cos(\omega x)$ a pour période $\frac{2\pi}{\omega}$ ). Exemple : courbe paire, de maximum 1 atteint en 0 et de période $2\pi$ : c’est $\cos x$ .

Méthode 6 — équation d’une tangente. 1. Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ avec le Théorème 3. 2. Écrire $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . Exemple : tangente à $\sin$ en 0 : $y = x$ (près de 0, $\sin x \approx x$ ).

Pour aller plus loin (non exigible). La fonction tangente $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , définie lorsque $\cos x \neq 0$ , est un approfondissement possible du programme.

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

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