Quiz — Fonctions trigonométriques

Question 1 : Résoudre $\cos x = \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$.

• $x = \dfrac\pi3$ uniquement
• $x = \dfrac\pi3$ ou $x = \dfrac{2\pi}{3}$
• $x = \dfrac\pi6$ ou $x = -\dfrac\pi6$
• ✓ $x = \dfrac\pi3$ ou $x = -\dfrac\pi3$

Explication : **Méthode 1 (résoudre $\cos x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$)** : on cherche une solution particulière avec les valeurs remarquables du **Théorème 1** : $\cos\frac\pi3 = \frac12$, donc $\alpha = \frac\pi3$. D'après le **Théorème 4 (équations trigonométriques)**, $\cos x = \cos\frac\pi3 \iff x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$. Sur $[-\pi\,;\pi]$, cela donne exactement $x = \frac\pi3$ et $x = -\frac\pi3$ : option D. Ce sont les deux points du cercle trigonométrique d'abscisse $\frac12$.

Question 2 : Résoudre l'inéquation $\cos x \leq \dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[-\pi\,;\pi]$.

• $\left[-\dfrac\pi4\,;\dfrac\pi4\right]$
• ✓ $\left[-\pi\,;-\dfrac\pi4\right] \cup \left[\dfrac\pi4\,;\pi\right]$
• $\left[\dfrac\pi4\,;\pi\right]$
• $\left[-\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right]$

Explication : **Méthode 2 (résoudre une inéquation trigonométrique sur $[-\pi\,;\pi]$)**. Étape 1 : on résout l'équation associée avec la **Méthode 1** : $\cos x = \frac{\sqrt2}{2}$ donne $x = \pm\frac\pi4$ (**Théorème 4**). Étape 2 : sur le cercle trigonométrique, $\cos x \leq \frac{\sqrt2}{2}$ correspond aux points d'abscisse à gauche de la droite verticale $x = \frac{\sqrt2}{2}$, c'est-à-dire aux angles de $\left[\frac\pi4\,;\pi\right]$ et de $\left[-\pi\,;-\frac\pi4\right]$. Réponse : option B. Sur la courbe, ce sont les abscisses où $\cos$ est sous la droite $y = \frac{\sqrt2}{2}$.

Question 3 : Résoudre $\sin x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ sur $[-\pi\,;\pi]$.

• ✓ $x = -\dfrac\pi3$ ou $x = -\dfrac{2\pi}{3}$
• $x = \dfrac\pi3$ ou $x = \dfrac{2\pi}{3}$
• $x = -\dfrac\pi3$ ou $x = \dfrac\pi3$
• $x = -\dfrac\pi6$ ou $x = -\dfrac{5\pi}{6}$

Explication : **Méthode 1 (résoudre $\sin x = a$)** : comme $\sin\frac\pi3 = \frac{\sqrt3}{2}$ (**Théorème 1**, valeurs remarquables), l'imparité du **Théorème 2** donne $\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\frac{\sqrt3}{2}$ : on prend $\alpha = -\frac\pi3$. D'après le **Théorème 4**, les solutions sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$ ; or $\pi - \left(-\frac\pi3\right) = \frac{4\pi}{3}$, soit $-\frac{2\pi}{3}$ modulo $2\pi$. Sur $[-\pi\,;\pi]$ : $x = -\frac\pi3$ ou $x = -\frac{2\pi}{3}$, option A.

Question 4 : Quelle est la dérivée de $f(x) = \cos(3x) + 2\sin x$ ?

• $f'(x) = -\sin(3x) + 2\cos x$
• $f'(x) = 3\sin(3x) + 2\cos x$
• ✓ $f'(x) = -3\sin(3x) + 2\cos x$
• $f'(x) = -3\sin(3x) - 2\cos x$

Explication : **Méthode 3 (dériver une fonction trigonométrique)** : pour $\cos(3x)$, on applique le **Théorème 3** avec $u = 3x$, $u' = 3$ : $(\cos u)' = -u'\sin u = -3\sin(3x)$. Pour $2\sin x$, toujours d'après le **Théorème 3**, la dérivée est $2\cos x$. Donc $f'(x) = -3\sin(3x) + 2\cos x$, option C. L'option A oublie le facteur $u' = 3$, l'option B oublie le signe moins de $(\cos)' = -\sin$.

Question 5 : Soit $f(x) = x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$. Quel est son sens de variation ?

• ✓ $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
• $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
• $f$ est périodique de période $2\pi$
• $f$ est croissante sur $[0\,;\pi]$ et décroissante sur $[\pi\,;2\pi]$

Explication : **Méthode 4 (étudier une fonction trigonométrique)** : on dérive avec le **Théorème 3** : $f'(x) = 1 - \sin x$. D'après le **Théorème 1**, $\sin x \leq 1$, donc $f'(x) \geq 0$ pour tout réel $x$, avec égalité seulement aux points isolés $x = \frac\pi2 + 2k\pi$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, option A. Elle n'est pas périodique à cause du terme $x$ (qui tend vers $\pm\infty$).

Question 6 : Le graphique représente une fonction $f$ sur $[-2\pi\,;2\pi]$. Quelle est l'expression de $f$ ?

• $f(x) = \sin x$
• ✓ $f(x) = \cos x$
• $f(x) = 2\cos x$
• $f(x) = \cos(2x)$

Explication : **Méthode 5 (identifier une sinusoïde)** : on lit la valeur en 0, la parité et la période. Ici $f(0) = 1$ (ce qui exclut $\sin x$, nul en 0, et $2\cos x$, qui vaudrait 2), la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc la fonction est paire (**Théorème 2**), et la période est $2\pi$ (maxima en $0$ et $\pm 2\pi$), ce qui exclut $\cos(2x)$, de période $\pi$. C'est donc $f(x) = \cos x$, option B.

Question 7 : Quelle affirmation traduit correctement une propriété de la fonction sinus ?

• $\sin$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
• $\sin(x + \pi) = \sin x$ pour tout $x$
• ✓ $\sin$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère
• $\sin$ est croissante sur $[0\,;\pi]$

Explication : D'après le **Théorème 2 (parité et périodicité)**, $\sin(-x) = -\sin x$ : sinus est **impaire**, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, option C. Les autres affirmations sont fausses : $\sin(x + \pi) = -\sin x$ et non $\sin x$ (la période est $2\pi$, pas $\pi$), et d'après le **Théorème 3**, $\sin' = \cos$ change de signe en $\frac\pi2$ : sinus croît sur $[0\,;\frac\pi2]$ puis décroît sur $[\frac\pi2\,;\pi]$.

Question 8 : Soit $g(x) = \sin x - \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\pi]$. En quel point $g$ atteint-elle son maximum ?

• $x = \dfrac\pi2$
• $x = \dfrac\pi6$
• ✓ $x = \dfrac\pi3$
• $x = 0$

Explication : **Méthode 4 (étudier une fonction trigonométrique)** : d'après le **Théorème 3**, $g'(x) = \cos x - \frac12$. On résout $g'(x) = 0$, c'est-à-dire $\cos x = \frac12$, avec la **Méthode 1** : sur $[0\,;\pi]$, l'unique solution est $x = \frac\pi3$. Comme $\cos$ est décroissante sur $[0\,;\pi]$, $g' > 0$ sur $\left[0\,;\frac\pi3\right[$ et $g' < 0$ sur $\left]\frac\pi3\,;\pi\right]$ : $g$ croît puis décroît, et atteint son maximum en $x = \frac\pi3$, option C, avec $g\left(\frac\pi3\right) = \frac{\sqrt3}{2} - \frac\pi6 \approx 0{,}34$.

Question 9 : Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $\sin$ au point d'abscisse 0 ?

• $y = 1$
• $y = -x$
• $y = 0$
• ✓ $y = x$

Explication : **Méthode 6 (équation d'une tangente)** : la tangente en $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. D'après le **Théorème 3**, $\sin'(x) = \cos x$, donc $\sin'(0) = \cos 0 = 1$ ; et $\sin 0 = 0$. L'équation est $y = 1 \times (x - 0) + 0 = x$, option D. Près de 0, on a donc $\sin x \approx x$ : la courbe de sinus « part » de l'origine avec une pente de 1.

Question 10 : Question type bac. Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 ; ses sommets sur le demi-cercle ont pour coordonnées $(\pm\cos\theta\,;\sin\theta)$ avec $\theta \in \left]0\,;\frac\pi2\right[$. Son aire est $A(\theta) = 2\cos\theta\sin\theta$. Pour quelle valeur de $\theta$ l'aire est-elle maximale, sachant que $A'(\theta) = 2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$ ?

• $\theta = \dfrac\pi3$
• ✓ $\theta = \dfrac\pi4$
• $\theta = \dfrac\pi6$
• $\theta = \dfrac\pi2$

Explication : **Méthode 4 (optimiser une fonction trigonométrique)** : on cherche où $A'$ s'annule en changeant de signe. $A'(\theta) = 0 \iff \cos^2\theta = \sin^2\theta$, soit $\cos\theta = \sin\theta$ sur $\left]0\,;\frac\pi2\right[$ (les deux sont positifs), d'où $\theta = \frac\pi4$. Pour $\theta < \frac\pi4$, $\cos\theta > \sin\theta$ donc $A' > 0$ ; pour $\theta > \frac\pi4$, $A' < 0$ : maximum en $\theta = \frac\pi4$, option B. L'aire maximale vaut $A\left(\frac\pi4\right) = 2 \times \frac{\sqrt2}{2} \times \frac{\sqrt2}{2} = 1$ (valeurs du **Théorème 1**).