Quelle est la différence entre une suite majorée et une suite convergente ?

Une suite majorée reste sous une constante $M$, ce qui ne suffit pas à converger (exemple : $u_n = (-1)^n$ est bornée et diverge). En revanche, une suite croissante ET majorée converge toujours (théorème admis). Attention : elle converge vers une limite $\ell \leq M$, pas forcément vers $M$.

Comment montrer qu'une suite tend vers $+\infty$ ?

Trois pistes : la minorer par une suite qui tend vers $+\infty$ (théorème de comparaison), montrer qu'elle est croissante et non majorée, ou utiliser les opérations sur les limites à partir des limites de référence ($n$, $n^2$, $\sqrt{n}$, $q^n$ avec $q > 1$).

Pourquoi une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge-t-elle vers une solution de $f(x) = x$ ?

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n)$ tend vers $f(\ell)$ ; or $f(u_n) = u_{n+1}$ tend aussi vers $\ell$. Par unicité de la limite, $f(\ell) = \ell$. Il faut d'abord prouver la convergence (par exemple : croissante et majorée) avant d'utiliser ce point fixe.

Les suites — BgMaths

Définitions

Définition 1 — suite convergente. La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang. On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$ . Une suite convergente a une unique limite.

Définition 2 — suite tendant vers l’infini. $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang ; de même, $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient tous les $u_n$ à partir d’un certain rang. Une suite qui ne converge pas est dite divergente ; diverger ne signifie pas tendre vers l’infini : $u_n = (-1)^n$ est bornée et n’a pas de limite.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (opérations sur les limites) (admis). Si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$ (réels), alors $u_n + v_n \to \ell + \ell'$ , $u_n v_n \to \ell\ell'$ et, si $\ell' \neq 0$ , $\dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{\ell}{\ell'}$ . Avec des limites infinies, les règles sont intuitives ( $+\infty + 3 = +\infty$ , $\frac{1}{+\infty} = 0$ …), sauf pour les quatre formes indéterminées :

$+\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$

Limites de référence :

Tendent vers $+\infty$	Tendent vers $0$
$n$ , $n^2$ , $n^k$ ( $k \geq 1$ ), $\sqrt n$ , $q^n$ ( $q > 1$ )	$\dfrac1n$ , $\dfrac{1}{n^k}$ , $\dfrac{1}{\sqrt n}$ , $q^n$ ( $-1 < q < 1$ )

Théorème 2 (comparaison). (démonstration exigible) Si $u_n \geq v_n$ à partir d’un certain rang et $\lim v_n = +\infty$ , alors $\lim u_n = +\infty$ . De même, si $u_n \leq v_n$ et $v_n \to -\infty$ , alors $u_n \to -\infty$ .

Application exigible : pour tout réel $x$ , $e^x \geq 1 + x$ , donc par comparaison $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$ , puis $\lim\limits_{x\to-\infty} e^x = \lim\limits_{X\to+\infty} \dfrac{1}{e^X} = 0$ .

Théorème 3 (gendarmes). Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d’un certain rang et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$ , alors $(u_n)$ converge et $\lim u_n = \ell$ .

Théorème 4 (inégalité de Bernoulli). (démonstration exigible, par récurrence) Pour tout réel $a > 0$ et tout entier $n \geq 0$ : $(1+a)^n \geq 1 + na$ .

Théorème 5 (limite de $q^n$ ). (démonstration exigible pour $q > 1$ : Bernoulli puis comparaison) Pour $q$ réel :

$q \leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
pas de limite	$q^n \to 0$	$q^n = 1$	$q^n \to +\infty$

Théorème 6 (convergence monotone) (admis). Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Piège : une suite croissante majorée par $M$ converge vers un réel $\ell \leq M$ , pas nécessairement vers $M$ .

Théorème 7 (suite croissante non majorée). (démonstration exigible) Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ .

Théorème 8 (point fixe). Si $u_{n+1} = f(u_n)$ , si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ (voir le cours sur la continuité).

Méthodes

Méthode 1 — démontrer une propriété par récurrence.

Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
Hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour un entier $n \geq n_0$ (hypothèse de récurrence) et en déduire $P(n+1)$ .
Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Exemple : $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ ; si $u_n \leq 4$ alors $3u_n + 4 \leq 16$ donc $u_{n+1} \leq 4$ ; avec $u_0 \leq 4$ , tous les termes sont $\leq 4$ .

Méthode 2 — étudier la monotonie d’une suite.

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ (ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 pour une suite à termes strictement positifs).
Si le signe n’est pas évident (suite récurrente), le démontrer par récurrence (Méthode 1).

Exemple : $u_n = 3 - \frac{2}{n+1}$ : $u_{n+1} - u_n = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n+2} > 0$ , donc $(u_n)$ est croissante.

Méthode 3 — lever une forme indéterminée par factorisation du terme prépondérant.

Repérer le terme qui croît le plus vite au numérateur et au dénominateur.
Factoriser, simplifier, puis conclure avec le Théorème 1.

Exemple : $\dfrac{3n^2 - n}{2n^2 + 5} = \dfrac{3 - 1/n}{2 + 5/n^2} \to \dfrac32$ ; $n^2 - 5n = n^2\left(1 - \frac5n\right) \to +\infty$ .

Méthode 4 — conclure par encadrement ou par comparaison.

Encadrer, minorer ou majorer $u_n$ à l’aide de bornes connues ( $-1 \leq \cos n \leq 1$ , $-1 \leq \sin n \leq 1$ …).
Déterminer la limite des suites encadrantes.
Conclure par le Théorème 3 (limite finie) ou le Théorème 2 (limite infinie).

Exemple : $-\frac1n \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac1n$ donc $\frac{\cos n}{n} \to 0$ ; $n + \sin n \geq n - 1 \to +\infty$ donc $n + \sin n \to +\infty$ .

Méthode 5 — étudier une suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n + b$ ( $a \neq 1$ ).

Résoudre $\ell = a\ell + b$ : $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ .
Poser $v_n = u_n - \ell$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ .
Conclure : $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$ ; si $-1 < a < 1$ , $u_n \to \ell$ (Théorème 5).

Exemple : $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 6000$ : $\ell = 30\,000$ et $u_n = 30\,000 + (u_0 - 30\,000) \times 0{,}8^n \to 30\,000$ .

Méthode 6 — étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Montrer par récurrence (Méthode 1) un encadrement et la monotonie de la suite.
En déduire la convergence par le Théorème 6 (croissante majorée ou décroissante minorée).
Déterminer la limite : résoudre $f(\ell) = \ell$ (Théorème 8) et éliminer les solutions incompatibles (signe, intervalle).

Exemple : $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ : croissante et majorée par 4 (récurrence), donc convergente ; $\ell = \sqrt{3\ell + 4}$ donne $\ell = 4$ ou $\ell = -1$ , et $\ell = 4$ car $u_n \geq 0$ .

Méthode 7 — recherche de seuil par algorithme.

Initialiser $u$ (premier terme) et $n = 0$ .
Boucler while tant que la condition d’arrêt n’est pas atteinte, en mettant à jour $u$ et $n$ .
Afficher $n$ à la sortie de boucle.

u = 200
n = 0
while u >= 50:      # on s'arrête dès que u < 50
    u = 0.9 * u
    n = n + 1
print(n)   # affiche 14 : plus petit n tel que 200 x 0,9^n < 50

Le même schéma donne des valeurs approchées de $\sqrt 2$ , $e$ , $\pi$ ou $\ln 2$ : on itère une suite qui converge vers ce nombre jusqu’à la précision voulue (méthode de Héron : $u_{n+1} = \frac12\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right) \to \sqrt 2$ ).

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