Quiz — Les suites

Question 1 : Soit $u_n = 3 - \dfrac{2}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. Quelle affirmation est vraie ?

• $(u_n)$ est décroissante et converge vers 3
• ✓ $(u_n)$ est croissante, majorée par 3 et converge vers 3
• $(u_n)$ est croissante et tend vers $+\infty$
• $(u_n)$ est croissante et converge vers 1

Explication : **Méthode 2 (étudier la monotonie d'une suite)** : on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{n+1} - \dfrac{2}{n+2} > 0$, donc $(u_n)$ est croissante. Comme $\dfrac{2}{n+1} > 0$, on a $u_n < 3$ : la suite est majorée par 3. D'après le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, $\dfrac{2}{n+1} \to 0$ donc $u_n \to 3 - 0 = 3$ : option B. Attention : $u_0 = 1$ est le premier terme, pas la limite.

Question 2 : Quelle est la limite de la suite $u_n = \left(\dfrac{4}{5}\right)^n + 2$ ?

• $+\infty$
• $0$
• ✓ $2$
• $3$

Explication : D'après le **Théorème 5 (limite de $q^n$)**, comme $-1 < \dfrac{4}{5} < 1$, on a $\left(\dfrac{4}{5}\right)^n \to 0$. Puis, par le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, $u_n \to 0 + 2 = 2$ : option C. Le premier terme $u_0 = 3$ n'est pas la limite.

Question 3 : Soit $u_n = 1{,}5^n$. D'après l'inégalité de Bernoulli, on a $u_n \geq 1 + 0{,}5n$. Que peut-on conclure ?

• $(u_n)$ converge vers 1
• $(u_n)$ est majorée par $1 + 0{,}5n$
• ✓ $(u_n)$ tend vers $+\infty$ par comparaison
• $(u_n)$ est bornée

Explication : Le **Théorème 4 (inégalité de Bernoulli)** appliqué à $1{,}5 = 1 + 0{,}5$ donne $u_n \geq 1 + 0{,}5n$. Or $1 + 0{,}5n \to +\infty$. D'après le **Théorème 2 (comparaison)**, une suite minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ tend elle-même vers $+\infty$ : $u_n \to +\infty$, option C. C'est exactement la démonstration du cas $q > 1$ du **Théorème 5 (limite de $q^n$)**.

Question 4 : Pour tout $n \geq 1$, on sait que $\dfrac{-1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$. Que vaut $\lim u_n$ ?

• ✓ $0$
• $1$
• On ne peut pas conclure
• $-1$

Explication : **Méthode 4 (conclure par encadrement)** : les deux suites encadrantes $\dfrac{-1}{n}$ et $\dfrac{1}{n}$ tendent toutes les deux vers 0. D'après le **Théorème 3 (gendarmes)**, $(u_n)$ converge et $u_n \to 0$ : option A. C'est par exemple le cas de $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ ou $u_n = \dfrac{\cos n}{n}$.

Question 5 : On veut montrer par récurrence que $u_n \leq 4$ pour tout $n$, avec $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$. Quelle est l'étape d'hérédité correcte ?

• ✓ Si $u_n \leq 4$ alors $3u_n + 4 \leq 16$ donc $\sqrt{3u_n+4} \leq 4$
• Si $u_{n+1} \leq 4$ alors $u_n \leq 4$
• $u_0 = 1 \leq 4$ donc la propriété est vraie pour tout $n$
• Si $u_n \leq 4$ alors $u_n \leq u_{n+1}$

Explication : **Méthode 1 (démontrer une propriété par récurrence)** : l'hérédité consiste à supposer $u_n \leq 4$ (hypothèse de récurrence) et à en déduire $u_{n+1} \leq 4$. Si $u_n \leq 4$, alors $3u_n + 4 \leq 16$, et comme la racine carrée est croissante, $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4} \leq \sqrt{16} = 4$ : option A. Avec l'initialisation $u_0 = 1 \leq 4$ et la conclusion, la propriété est vraie pour tout $n$.

Question 6 : Soit $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 6$ avec $u_0 = 10$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?

• ✓ $u_n = 30 - 20 \times 0{,}8^n$
• $u_n = 10 \times 0{,}8^n + 6n$
• $u_n = 30 + 20 \times 0{,}8^n$
• $u_n = 6 + 4 \times 0{,}8^n$

Explication : **Méthode 5 (étudier une suite arithmético-géométrique)** : 1) point fixe $\ell = 0{,}8\ell + 6$, d'où $\ell = 30$ ; 2) la suite $v_n = u_n - 30$ est géométrique de raison $0{,}8$, avec $v_0 = 10 - 30 = -20$ ; 3) donc $u_n = 30 - 20 \times 0{,}8^n$ : option A. Vérification : $u_1 = 0{,}8 \times 10 + 6 = 14$ et $30 - 20 \times 0{,}8 = 14$.

Question 7 : Quelle est la limite de $u_n = \dfrac{2n^2 - 5n}{n^2 + 3}$ ?

• $0$
• $-5$
• $+\infty$
• ✓ $2$

Explication : Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. **Méthode 3 (lever une forme indéterminée par factorisation du terme prépondérant)** : $u_n = \dfrac{n^2(2 - 5/n)}{n^2(1 + 3/n^2)} = \dfrac{2 - 5/n}{1 + 3/n^2}$. D'après le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 1, donc $u_n \to \dfrac{2}{1} = 2$ : option D.

Question 8 : Le graphique montre les premiers termes de $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ avec $u_0 = 0$. On admet que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Que vaut $\ell$ ?

• $\ell = 6$
• $\ell = -2$
• ✓ $\ell = 3$
• $\ell = \sqrt 6$

Explication : **Méthode 6 (étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$)** : la convergence étant admise, la limite est un point fixe de $f$. D'après le **Théorème 8 (point fixe)**, comme $f(x) = \sqrt{x + 6}$ est continue, $\ell = \sqrt{\ell + 6}$, soit $\ell^2 - \ell - 6 = 0$ avec $\ell \geq 0$. Les racines sont $-2$ et $3$ ; on élimine $-2$ car $u_n \geq 0$, donc $\ell = 3$ : option C, cohérent avec le graphique où les termes se stabilisent vers 3.

Question 9 : Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 10. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

• $(u_n)$ converge vers 10
• ✓ $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \leq 10$
• $(u_n)$ tend vers $+\infty$
• $(u_n)$ converge vers $u_0$

Explication : D'après le **Théorème 6 (convergence monotone)**, une suite croissante et majorée converge vers un réel $\ell$ ; comme tous les termes sont $\leq 10$, on a $\ell \leq 10$ : option B. Mais rien n'impose $\ell = 10$ : par exemple $u_n = 5 - \frac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par 10, et converge vers 5. Le majorant n'est pas forcément la limite.

Question 10 : Question type bac. Soit $u_n = 200 \times 0{,}9^n$. Un algorithme calcule le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 50$. Quelle condition de boucle est correcte et que renvoie-t-il ?

• `while u > 50` ; il renvoie $n = 6$
• `while u < 50` ; il renvoie $n = 14$
• `while u > 50` ; il renvoie $n = 20$
• ✓ `while u >= 50` ; il renvoie $n = 14$

Explication : **Méthode 7 (recherche de seuil par algorithme)** : on répète tant que la condition d'arrêt $u_n < 50$ n'est pas atteinte, donc `while u >= 50`. D'après le **Théorème 5 (limite de $q^n$)**, $0{,}9^n \to 0$, donc le seuil existe. $u_{13} = 200 \times 0{,}9^{13} \approx 50{,}8 \geq 50$ et $u_{14} \approx 45{,}7 < 50$ : l'algorithme renvoie $n = 14$, option D. La condition `while u > 50` donnerait aussi 14 ici, mais elle serait fausse si un terme valait exactement 50.