Peut-on toujours écrire $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?

Non. Cette relation est admise pour des variables indépendantes, par exemple des variables attachées à des épreuves distinctes d'une succession d'épreuves indépendantes. Pour $Y = X$, on a $V(X + Y) = V(2X) = 4V(X)$.

Comment retrouver $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ pour la loi binomiale ?

On écrit $X = X_1 + \cdots + X_n$ où $X_i$ vaut 1 si la $i$-ème épreuve est un succès. Les $X_i$ suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p$, d'espérance $p$ et de variance $p(1-p)$, et sont indépendantes. Par linéarité $E(X) = np$ et, par additivité de la variance, $V(X) = np(1-p)$.

Pourquoi la moyenne d'un échantillon a-t-elle un écart-type en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ?

$M_n = \dfrac{S_n}{n}$ avec $V(S_n) = n\sigma^2$ (additivité pour des variables indépendantes). Donc $V(M_n) = \dfrac{n\sigma^2}{n^2} = \dfrac{\sigma^2}{n}$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Multiplier la taille par 4 divise l'écart-type par 2.

Somme de variables aléatoires

Définitions

(Définitions 1-3 : rappels sur les variables aléatoires, section 11.1 ; Définitions 4-5 et la suite : somme de variables aléatoires, section 11.2.)

Définition 1 — Variable aléatoire. Soit $\Omega$ l’univers fini d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire $X$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ . L’événement $\{X = x\}$ est l’ensemble des issues $\omega$ telles que $X(\omega) = x$ . Pour $X$ et $Y$ définies sur le même univers, la variable $X + Y$ associe à chaque issue $\omega$ le nombre $X(\omega) + Y(\omega)$ .

Définition 2 — Loi de probabilité. La loi de $X$ est la donnée de ses valeurs $x_1, \ldots, x_r$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$ , avec $p_1 + \cdots + p_r = 1$ . On la présente en tableau.

Définition 3 — Espérance, variance, écart-type. $E(X) = \sum_{i=1}^{r} x_i\, p_i, \qquad V(X) = \sum_{i=1}^{r} (x_i - E(X))^2\, p_i, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$ L’espérance est aussi la moyenne pondérée sur les issues : $E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\, P(\{\omega\})$ . L’écart-type est l’unité naturelle pour mesurer l’éloignement de $X$ à $E(X)$ .

Définition 4 — Variables indépendantes. Dans le modèle de la succession d’épreuves indépendantes, des variables attachées à des épreuves différentes (le résultat du premier dé, celui du second) sont dites indépendantes : pour toutes valeurs $x$ , $y$ , $P(X = x \text{ et } Y = y) = P(X = x) \times P(Y = y)$ . L’indépendance fait partie du modèle ; on n’a pas à la démontrer.

Définition 5 — Échantillon de taille $n$ . Liste $(X_1, \ldots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi, d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ (par exemple $n$ répétitions indépendantes de la même expérience). On note $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ (moyenne de l’échantillon).

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (linéarité de l’espérance). Pour toutes variables aléatoires $X$ , $Y$ sur le même univers et tous réels $a$ , $b$ : $E(X + Y) = E(X) + E(Y), \qquad E(aX) = aE(X), \qquad E(aX + b) = aE(X) + b.$ Ces égalités sont toujours vraies, sans hypothèse d’indépendance, et s’étendent à $n$ variables : $E(X_1 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)$ . On peut ainsi calculer $E(X)$ sans connaître la loi de $X$ , en décomposant $X$ en somme de variables simples.

Théorème 2 (formule de König-Huygens). $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ .

Théorème 3 (variance et transformation affine). $V(aX + b) = a^2\, V(X), \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X).$ La constante $b$ décale les valeurs sans changer la dispersion ; le facteur $a$ sort au carré de la variance. En particulier $V(-Y) = V(Y)$ .

Théorème 4 (additivité de la variance, admis). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X + Y) = V(X) + V(Y).$ Extension à $n$ variables indépendantes : $V(X_1 + \cdots + X_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n)$ . En combinant avec le Théorème 3 : $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$ pour $X$ , $Y$ indépendantes. Contre-exemple sans indépendance : $Y = X$ donne $V(X + Y) = V(2X) = 4V(X) \neq 2V(X)$ .

Théorème 5 (espérance et variance de la loi binomiale). (démonstration exigible) Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}.$ Démonstration : $X = X_1 + \cdots + X_n$ où $X_i$ vaut 1 si la $i$ -ème épreuve est un succès ; chaque $X_i$ suit $\mathcal{B}(p)$ avec $E(X_i) = p$ , $V(X_i) = p(1 - p)$ , et les $X_i$ sont indépendantes. Le Théorème 1 donne $E(X) = np$ ; le Théorème 4 donne $V(X) = np(1 - p)$ .

Théorème 6 (somme et moyenne d’un échantillon). Pour un échantillon de taille $n$ d’une loi d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ :

	Espérance	Variance	Écart-type
Somme $S_n$	$n\mu$	$n\sigma^2$	$\sigma\sqrt{n}$
Moyenne $M_n$	$\mu$	$\dfrac{\sigma^2}{n}$	$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Preuve pour $M_n$ : $E(M_n) = \tfrac{1}{n} E(S_n) = \mu$ et $V(M_n) = \tfrac{1}{n^2} V(S_n) = \tfrac{\sigma^2}{n}$ . L’écart-type de la moyenne décroît en $\tfrac{1}{\sqrt{n}}$ : c’est l’origine de la loi des grands nombres (voir « Loi des grands nombres »).

Méthodes

Méthode 1 — calculer $E$ , $V$ , $\sigma$ à partir de la loi.

Présenter la loi en tableau : valeurs $x_i$ , probabilités $p_i$ (Définition 2).
Calculer $E(X) = \sum x_i p_i$ (Définition 3).
Calculer $E(X^2)$ puis $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (Théorème 2), et $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Exemple. $X$ prend $0$ , $1$ , $2$ avec $0{,}2$ , $0{,}5$ , $0{,}3$ : $E(X) = 1{,}1$ , $E(X^2) = 1{,}7$ , $V(X) = 0{,}49$ , $\sigma(X) = 0{,}7$ .

Méthode 2 — transformer une variable ( $aX + b$ ).

Espérance : $E(aX + b) = aE(X) + b$ (Théorème 1) — la constante reste.
Variance : $V(aX + b) = a^2 V(X)$ et $\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$ (Théorème 3) — la constante disparaît.

Exemple. $E(X) = 4$ , $V(X) = 3$ : $E(3X - 2) = 10$ et $V(2X + 5) = 12$ .

Méthode 3 — décomposer en somme de variables simples (espérance d’une somme).

Écrire $X = X_1 + \cdots + X_n$ avec des variables simples (indicatrices valant 0 ou 1, résultat de chaque épreuve).
Calculer $E(X_i)$ pour chaque $i$ .
Conclure par linéarité (Théorème 1), sans chercher la loi de $X$ (pour un nombre de succès, on retrouve le Théorème 5).

Exemple. Somme de 50 dés : $E(S) = 50 \times 3{,}5 = 175$ . Tireur à $p = 0{,}6$ , 3 tirs : $E(Y) = 1{,}8$ .

Méthode 4 — calculer la variance d’une somme de variables indépendantes.

Justifier l’indépendance : variables attachées à des épreuves distinctes (Définition 4).
Additionner les variances (Théorème 4) ; pour une différence, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$ (Théorème 3).
Pour l’écart-type, prendre la racine de la somme des variances : les écarts-types ne s’additionnent jamais.

Exemple. Deux dés indépendants, $V(X_i) = \tfrac{35}{12}$ : $V(S) = \tfrac{35}{6}$ , $\sigma(S) = \sqrt{\tfrac{35}{6}} \approx 2{,}42$ .

Méthode 5 — somme et moyenne d’un échantillon.

Identifier $\mu$ , $\sigma^2$ et la taille $n$ (Définition 5).
Appliquer le Théorème 6 : $E(S_n) = n\mu$ , $V(S_n) = n\sigma^2$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
Pour viser un écart-type de moyenne donné, résoudre $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \sigma_{\text{visé}}$ : diviser par $k$ exige de multiplier $n$ par $k^2$ .

Exemple. $\sigma = 10$ , $n = 400$ : $\sigma(M_{400}) = \tfrac{10}{20} = 0{,}5$ . Pour $\sigma(M_n) = \tfrac{\sigma}{4}$ , il faut $n = 16$ .

Méthode 6 — gain algébrique d’un jeu.

Définir $G$ = recette moins mise, pour chaque issue du jeu.
Donner la loi de $G$ puis calculer $E(G)$ (Définition 3), ou écrire $G = R - m$ et utiliser le Théorème 1.
Interpréter : le jeu est équitable si $E(G) = 0$ , favorable au joueur si $E(G) > 0$ .

Exemple. Mise 2 €, recette 10 € avec probabilité $\tfrac15$ : $E(G) = 8 \times \tfrac15 - 2 \times \tfrac45 = 0$ , jeu équitable.

Méthode 7 — vérifier par simulation. On simule $N$ échantillons de taille $n$ et on compare la dispersion des moyennes à $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

from random import randint

def moyenne_de(n):            # moyenne de n lancers de dé
    s = 0
    for _ in range(n):
        s = s + randint(1, 6)
    return s / n

moyennes = [moyenne_de(100) for _ in range(1000)]

Exemple. Pour un dé ( $\mu = 3{,}5$ , $\sigma \approx 1{,}71$ ) et $n = 100$ , les 1000 moyennes se répartissent autour de $3{,}5$ avec un écart-type proche de $\tfrac{1{,}71}{10} \approx 0{,}17$ .

Définitions

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Méthodes

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