Quiz — Somme de variables aléatoires

Question 1 : Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec les probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $0{,}3$. Que vaut $E(X)$ ?

• $1$
• $0{,}5$
• ✓ $1{,}1$
• $1{,}5$

Explication : **Méthode 1 (calculer $E$, $V$, $\sigma$ à partir de la loi)** : par la **Définition 3**, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités. Ici $E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 = 0 + 0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1$ : option C. Répondre $1$ reviendrait à prendre la valeur centrale sans la pondération par les probabilités.

Question 2 : Avec la même loi ($P(X = 0) = 0{,}2$, $P(X = 1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$, $E(X) = 1{,}1$), que vaut $V(X)$ ?

• ✓ $0{,}49$
• $1{,}7$
• $0{,}7$
• $0{,}59$

Explication : **Méthode 1** : on calcule d'abord $E(X^2) = 0^2 \times 0{,}2 + 1^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}3 = 0{,}5 + 1{,}2 = 1{,}7$. Par le **Théorème 2 (formule de König-Huygens)**, $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 1{,}7 - 1{,}21 = 0{,}49$ : option A. Les distracteurs sont $1{,}7 = E(X^2)$ et $0{,}7 = \sigma(X)$, l'écart-type.

Question 3 : Si $V(X) = 3$, que vaut $V(2X + 5)$ ?

• $6$
• $11$
• $17$
• ✓ $12$

Explication : **Méthode 2 (transformer une variable)** : par le **Théorème 3 (variance et transformation affine)**, $V(aX + b) = a^2 V(X)$. Donc $V(2X + 5) = 2^2 \times 3 = 12$ : option D. Le facteur $2$ sort au carré, et la constante $5$, qui décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion, disparaît : $11 = 2V(X) + 5$ est l'erreur classique.

Question 4 : On lance deux dés équilibrés et $S$ est la somme des résultats. Que vaut $E(S)$ ?

• $6$
• ✓ $7$
• $3{,}5$
• $12$

Explication : **Méthode 3 (décomposer en somme de variables simples)** : on écrit $S = X_1 + X_2$ où $X_i$ est le résultat du $i$-ème dé, d'espérance $E(X_i) = 3{,}5$. Par le **Théorème 1 (linéarité de l'espérance)**, $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ : option B. Il est inutile d'établir la loi de $S$ (visible sur la figure) pour obtenir son espérance.

Question 5 : Un dé équilibré a pour variance $\dfrac{35}{12}$. Quelle est la variance de la somme $S$ de deux dés indépendants ?

• $\dfrac{35}{12}$
• $\dfrac{35}{144}$
• $\dfrac{35}{3}$
• ✓ $\dfrac{35}{6}$

Explication : **Méthode 4 (variance d'une somme)** : les deux lancers sont des épreuves distinctes d'une succession d'épreuves indépendantes, donc $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes (**Définition 4**). Par le **Théorème 4 (additivité de la variance)**, $V(S) = V(X_1) + V(X_2) = 2 \times \dfrac{35}{12} = \dfrac{35}{6}$ : option D. Sans cette indépendance, l'additivité ne serait pas garantie.

Question 6 : Dans la démonstration de $V(X) = np(1 - p)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ écrite comme $X = X_1 + \cdots + X_n$, quelle hypothèse est indispensable ?

• ✓ L'indépendance des $X_i$
• Que $p = \tfrac12$
• Que $n$ soit pair
• Que les $X_i$ prennent des valeurs distinctes

Explication : C'est la démonstration du **Théorème 5 (espérance et variance de la loi binomiale)**, selon la **Méthode 3** : on décompose $X$ en somme de $n$ variables de Bernoulli. Pour $E(X) = np$, la linéarité (**Théorème 1**) suffit, sans aucune hypothèse. Mais pour $V(X) = np(1 - p)$, on utilise l'additivité de la variance (**Théorème 4**), qui exige l'indépendance des $X_i$ : option A. Cette indépendance est acquise dans un schéma de Bernoulli, où les épreuves sont indépendantes.

Question 7 : $X$ et $Y$ sont indépendantes avec $E(X) = 2$, $E(Y) = 3$, $V(X) = 1$, $V(Y) = 4$. Que vaut $\sigma(X + Y)$ ?

• $3$
• $5$
• ✓ $\sqrt{5}$
• $\sqrt{3}$

Explication : **Méthode 4 (variance d'une somme)** : par le **Théorème 4 (additivité de la variance)**, $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = 1 + 4 = 5$, puis $\sigma(X + Y) = \sqrt{5}$ : option C. Les écarts-types ne s'additionnent pas : $\sigma(X) + \sigma(Y) = 1 + 2 = 3$ est faux. On additionne les variances, puis on prend la racine carrée.

Question 8 : Une variable $X$ a pour écart-type $10$. Quel est l'écart-type de la moyenne $M_{400}$ d'un échantillon de taille $400$ ?

• $10$
• $0{,}025$
• $200$
• ✓ $0{,}5$

Explication : **Méthode 5 (somme et moyenne d'un échantillon)** : par le **Théorème 6**, $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Ici $\sigma(M_{400}) = \dfrac{10}{\sqrt{400}} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5$ : option D. L'écart-type de la moyenne est divisé par $\sqrt{n} = 20$, pas par $n = 400$ (ce qui donnerait $0{,}025$).

Question 9 : Un tireur atteint la cible avec probabilité $0{,}6$ à chaque tir, indépendamment. Sur 3 tirs, $Y$ compte les tirs réussis. Que vaut $E(Y)$ ?

• $0{,}6$
• ✓ $1{,}8$
• $0{,}216$
• $2$

Explication : **Méthode 3 (décomposer en somme de variables simples)** : $Y = Y_1 + Y_2 + Y_3$ où $Y_i$ vaut 1 si le $i$-ème tir réussit, avec $E(Y_i) = 0{,}6$. Par le **Théorème 1 (linéarité de l'espérance)**, $E(Y) = 3 \times 0{,}6 = 1{,}8$ : option B. On retrouve la formule $E(Y) = np$ du **Théorème 5** pour $Y \sim \mathcal{B}(3\,;\,0{,}6)$.

Question 10 : Laquelle de ces égalités est vraie pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$, indépendantes ou non ?

• ✓ $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
• $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$
• $\sigma(X + Y) = \sigma(X) + \sigma(Y)$
• $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2E(X)E(Y)$

Explication : Le **Théorème 1 (linéarité de l'espérance)** est valable pour toutes variables aléatoires, sans aucune hypothèse d'indépendance : option A. L'additivité de la variance (**Théorème 4**) exige au contraire l'indépendance, et les écarts-types ne s'additionnent pas : pour des variables indépendantes, $\sigma(X + Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)}$ (**Méthode 4**). La dernière formule est fantaisiste.