Comment trouver une primitive d'une fonction ?

On lit le tableau des dérivées à l'envers : on cherche $F$ telle que $F' = f$. Pour les formes composées, on reconnaît $u' e^u$ (primitive $e^u$), $u' u^n$ (primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$), $\frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ (primitive $\ln u$), $\frac{u'}{\sqrt u}$ (primitive $2\sqrt u$). Il faut souvent ajuster une constante multiplicative, puis vérifier en dérivant.

Comment résoudre $y' = ay + b$ ?

On cherche d'abord une solution particulière constante $y_p = -\frac{b}{a}$ (elle vérifie $0 = a y_p + b$). Les solutions sont alors $y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $C \in \mathbb{R}$ : somme de la solution constante et des solutions de l'équation $y' = ay$. Une condition initiale $y(0) = y_0$ fixe $C = y_0 + \frac{b}{a}$.

Pourquoi dit-on qu'une primitive est définie « à une constante près » ?

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors $F + C$ en est une aussi pour tout réel $C$, et réciproquement toute primitive est de cette forme, car la différence de deux primitives a une dérivée nulle sur $I$, donc est constante. Une condition du type $F(x_0) = y_0$ permet de déterminer la constante.

Équations différentielles

Définitions

Définition 1 — équation différentielle. Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ , et qui fait intervenir ses dérivées. La plus simple est $y' = f$ , où $f$ est une fonction continue donnée sur un intervalle $I$ .

Définition 2 — primitive. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ sur $I$ , c’est-à-dire une solution de l’équation différentielle $y' = f$ . Exemple : $F(x) = x^3$ et $G(x) = x^3 + 7$ sont deux primitives de $f(x) = 3x^2$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (existence, admis ici — démontré au chapitre calcul intégral). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. (Certaines, comme celles de $x \mapsto e^{-x^2}$ , ne s’expriment pas avec les fonctions usuelles.)

Théorème 2 (primitives à constante près). (démonstration exigible) Si $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ , les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F + C$ , $C \in \mathbb{R}$ : deux primitives diffèrent d’une constante (leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle, donc est constante). Parmi elles, une seule vérifie une condition donnée $F(x_0) = y_0$ .

Théorème 3 (primitives de référence). Lecture inverse du tableau des dérivées ( $C \in \mathbb{R}$ ) :

$f(x)$	Primitives $F(x)$	Intervalle
$k$ (constante)	$kx + C$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ , $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ , par ex. $\dfrac{1}{x^2} \to -\dfrac1x + C$	$\mathbb{R}$ ou $]0\,;+\infty[$ …
$\dfrac{1}{x}$	$\ln x + C$	$]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x + C$	$]0\,;+\infty[$
$e^x$	$e^x + C$	$\mathbb{R}$
$\cos x$ ; $\sin x$	$\sin x + C$ ; $-\cos x + C$	$\mathbb{R}$

Linéarité : si $F' = f$ et $G' = g$ , alors $(F + G)' = f + g$ et $(kF)' = kf$ .

Théorème 4 (primitives et composées). Par lecture inverse de $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : une primitive de $(v' \circ u) \times u'$ est $v \circ u$ . D’où le tableau :

Forme de $f$	Primitive	Exemple
$u' e^{u}$	$e^{u}$	$2x e^{x^2} \to e^{x^2}$
$u' u^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$2x(x^2+1)^3 \to \dfrac{(x^2+1)^4}{4}$
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac{1}{u}$	$\dfrac{3}{(3x+1)^2} \to -\dfrac{1}{3x+1}$
$\dfrac{u'}{u}$ ( $u > 0$ )	$\ln u$	$\dfrac{2x}{x^2+1} \to \ln(x^2+1)$
$\dfrac{u'}{\sqrt u}$ ( $u > 0$ )	$2\sqrt u$	$\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} \to \sqrt{2x+3}$
$u'\cos u$ ; $u'\sin u$	$\sin u$ ; $-\cos u$	$\cos(3x) \to \dfrac13\sin(3x)$

Cas $u = ax + b$ : une primitive de $f(ax+b)$ est $\dfrac1a F(ax+b)$ ; ainsi $e^{-2x} \to -\dfrac12 e^{-2x}$ , $\sin(2x) \to -\dfrac12\cos(2x)$ .

Théorème 5 (équation $y' = ay$ ). (démonstration exigible) Soit $a \in \mathbb{R}$ . Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ . (Idée : si $y$ est solution, $z = ye^{-ax}$ a une dérivée nulle, donc est constante.) Allure : si $a > 0$ , les solutions s’éloignent de 0 quand $x$ croît ; si $a < 0$ , elles tendent vers 0 en $+\infty$ ; si $a = 0$ , elles sont constantes. La somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions.

Théorème 6 (équation $y' = ay + b$ ). Soient $a \neq 0$ et $b$ réels. Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions

$x \longmapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}$

c’est-à-dire la solution particulière constante $y_p = -\frac{b}{a}$ plus les solutions de l’équation homogène $y' = ay$ .

Théorème 7 (équation $y' = ay + f$ ). Si $y_p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$ , les solutions sont les fonctions $y_p + Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ (car $y - y_p$ vérifie $z' = az$ ).

Méthodes

Méthode 1 — primitive terme à terme (tableau de référence). 1. Décomposer $f$ en somme de fonctions de référence. 2. Appliquer le tableau du Théorème 3 à chaque terme (linéarité). 3. Vérifier en dérivant. Exemple : $f(x) = 4x^3 - \frac{3}{x^2} + 2\cos x$ sur $]0\,;+\infty[$ : $F(x) = x^4 + \frac{3}{x} + 2\sin x$ .

Méthode 2 — primitive par reconnaissance de forme $u' \cdot f(u)$ . 1. Repérer la fonction « intérieure » $u$ et calculer $u'$ . 2. Identifier la forme du Théorème 4 ( $u'e^u$ , $u'u^n$ , $\frac{u'}{u}$ …). 3. Ajuster la constante multiplicative manquante. 4. Vérifier en dérivant. Exemple : $f(x) = xe^{-x^2}$ : avec $u = -x^2$ , $u' = -2x$ , on a $f = -\frac12 u'e^u$ , donc $F(x) = -\frac12 e^{-x^2}$ .

Méthode 3 — primitive vérifiant une condition $F(x_0) = y_0$ . 1. Écrire toutes les primitives $F + C$ (Théorème 2). 2. Remplacer : résoudre $F(x_0) + C = y_0$ d’inconnue $C$ . 3. Conclure. Exemple : primitive de $2x + 3$ avec $F(1) = 5$ : $x^2 + 3x + C$ , $4 + C = 5$ , donc $F(x) = x^2 + 3x + 1$ .

Méthode 4 — résoudre $y' = ay + b$ (avec condition initiale). 1. Chercher la solution particulière constante : $0 = ay_p + b$ donne $y_p = -\frac{b}{a}$ . 2. Écrire les solutions $y = Ce^{ax} + y_p$ (Théorème 6). 3. Déterminer $C$ avec la condition initiale. 4. Vérifier. Exemple : $y' = -y + 4$ , $y(0) = 1$ : $y_p = 4$ , $C = -3$ , $y = 4 - 3e^{-x}$ , qui tend vers 4 en $+\infty$ .

Méthode 5 — résoudre $y' = ay + f$ à partir d’une solution particulière. 1. Vérifier (ou déterminer, souvent avec une forme imposée) la solution particulière $y_p$ . 2. Ajouter les solutions de l’homogène : $y = y_p + Ce^{ax}$ (Théorème 7). 3. Déterminer $C$ si une condition est donnée. Exemple : $y' = y + x$ : $y_p = -x - 1$ (affine), solutions $y = Ce^{x} - x - 1$ .

Méthode 6 — modéliser par $y' = ay + b$ . 1. Mettre l’équation du problème sous la forme $y' = ay + b$ (développer, identifier $a$ et $b$ ). 2. Résoudre avec la Méthode 4. 3. Interpréter : la solution constante $-\frac{b}{a}$ est souvent l’état d’équilibre (température ambiante, vitesse limite…). Exemple : loi de refroidissement $T' = -k(T - T_{\text{ext}})$ : $T(t) = T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}})e^{-kt}$ .

Méthode 7 — méthode d’Euler (approximation numérique). 1. Partir de $(x_0, y_0)$ . 2. Itérer $x_{k+1} = x_k + h$ et $y_{k+1} = y_k + h\,f(x_k, y_k)$ : on remplace la courbe par sa tangente sur chaque pas $h$ . 3. Plus $h$ est petit, meilleure est l’approximation. Exemple : pour $y' = -y + 4$ , $y(0) = 1$ , $h = 0{,}1$ : $y_1 = 1 + 0{,}1 \times 3 = 1{,}3$ , etc.

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