Quiz — Équations différentielles

Question 1 : Quelle est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$ ?

• ✓ $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$
• $F(x) = 6x - 4$
• $F(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$
• $F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x$

Explication : **Méthode 1 (primitive terme à terme)** : par linéarité, on intègre chaque terme avec le tableau du **Théorème 3 (primitives de référence)**, formule $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Primitive de $3x^2$ : $3 \times \frac{x^3}{3} = x^3$ ; de $-4x$ : $-4 \times \frac{x^2}{2} = -2x^2$ ; de $5$ : $5x$. Donc $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$ (à une constante près, **Théorème 2**), option A. Vérification en dérivant : $F'(x) = 3x^2 - 4x + 5 = f(x)$. L'option B est la dérivée de $f$, pas une primitive.

Question 2 : Quelle est une primitive de $g(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ ?

• $G(x) = \ln(x^2)$
• $G(x) = -\dfrac{2}{x^3}$
• ✓ $G(x) = -\dfrac{1}{x}$
• $G(x) = \dfrac{1}{x}$

Explication : **Méthode 1 (primitive par le tableau de référence)** : on écrit $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ et on applique la formule $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ du **Théorème 3** avec $n = -2$ : $G(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac1x$, option C. Vérification : $\left(-\frac1x\right)' = \frac{1}{x^2} = g(x)$. L'option B est la dérivée de $g$, pas une primitive, et $\ln$ est la primitive de $\frac1x$, pas de $\frac{1}{x^2}$.

Question 3 : Quelle est une primitive de $h(x) = x\,e^{x^2}$ ?

• $H(x) = e^{x^2}$
• $H(x) = \dfrac{x^2}{2}e^{x^2}$
• $H(x) = 2x e^{x^2}$
• ✓ $H(x) = \dfrac12 e^{x^2}$

Explication : **Méthode 2 (primitive par reconnaissance de forme)** : on repère la forme $u'e^u$ du **Théorème 4** avec $u = x^2$, donc $u' = 2x$. Le facteur présent est $x$ et non $2x$ : on ajuste la constante en écrivant $x e^{x^2} = \frac12 \times 2x\,e^{x^2} = \frac12 u'e^u$. Une primitive de $u'e^u$ étant $e^u$, on obtient $H(x) = \frac12 e^{x^2}$, option D. Vérification : $\left(\frac12 e^{x^2}\right)' = \frac12 \times 2x\,e^{x^2} = xe^{x^2}$.

Question 4 : Quelle est une primitive de $k(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ ?

• ✓ $K(x) = \ln(x^2 + 1)$
• $K(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$
• $K(x) = 2\ln(x^2 + 1)$
• $K(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}$

Explication : **Méthode 2 (primitive par reconnaissance de forme)** : le numérateur $2x$ est exactement la dérivée du dénominateur $u = x^2 + 1$, qui est strictement positif sur $\mathbb{R}$. On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ du **Théorème 4**, dont une primitive est $\ln u$ : $K(x) = \ln(x^2 + 1)$, option A. Vérification avec la dérivée de $\ln u$ : $K'(x) = \frac{2x}{x^2+1} = k(x)$, aucune constante à ajuster ici.

Question 5 : Soit $f(x) = 2x - 1$. Quelle est la primitive $F$ de $f$ telle que $F(2) = 3$ ?

• $F(x) = x^2 - x$
• ✓ $F(x) = x^2 - x + 1$
• $F(x) = x^2 - x + 3$
• $F(x) = 2x^2 - x - 3$

Explication : **Méthode 3 (primitive vérifiant une condition)** : d'après le **Théorème 2 (primitives à constante près)**, les primitives de $f$ sont les fonctions $F(x) = x^2 - x + C$, $C \in \mathbb{R}$ (obtenues par la **Méthode 1**). On impose la condition : $F(2) = 4 - 2 + C = 2 + C = 3$, d'où $C = 1$. La primitive cherchée est $F(x) = x^2 - x + 1$, option B — c'est la seule qui vérifie la condition.

Question 6 : Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = -2y$ ?

• $y = -2e^{x} + C$
• $y = Ce^{2x}$, $C \in \mathbb{R}$
• ✓ $y = Ce^{-2x}$, $C \in \mathbb{R}$
• $y = -2x + C$

Explication : D'après le **Théorème 5 (équation $y' = ay$)**, les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$. Ici $a = -2$, donc $y = Ce^{-2x}$, option C. Vérification : si $y = Ce^{-2x}$, alors $y' = -2Ce^{-2x} = -2y$. L'option B correspond à $y' = 2y$ (signe de $a$ inversé).

Question 7 : Quelle est la solution de $y' = 3y - 6$ vérifiant $y(0) = 5$ ?

• $y = 5e^{3x} - 6$
• ✓ $y = 3e^{3x} + 2$
• $y = 5e^{3x}$
• $y = 2e^{3x} + 3$

Explication : **Méthode 4 (résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale)**, ici $a = 3$, $b = -6$. Étape 1 : solution particulière constante $y_p = -\frac{b}{a} = 2$ (on vérifie : $0 = 3 \times 2 - 6$). Étape 2 : d'après le **Théorème 6**, les solutions sont $y = Ce^{3x} + 2$. Étape 3 : la condition initiale donne $y(0) = C + 2 = 5$, soit $C = 3$. Donc $y = 3e^{3x} + 2$, option B. Vérification : $y' = 9e^{3x}$ et $3y - 6 = 9e^{3x} + 6 - 6 = 9e^{3x}$.

Question 8 : Le graphique montre trois solutions de $y' = ay$ pour un même réel $a$. Que peut-on dire de $a$ ?

• $a > 0$
• $a = 0$
• ✓ $a < 0$
• On ne peut pas conclure

Explication : D'après le **Théorème 5 (équation $y' = ay$)**, les solutions sont les fonctions $Ce^{ax}$, dont l'allure dépend du signe de $a$ : si $a > 0$ elles s'éloignent de l'axe des abscisses quand $x$ croît, si $a < 0$ elles tendent toutes vers 0 en $+\infty$, si $a = 0$ elles sont constantes. Sur le graphique, les trois courbes se rapprochent de 0 quand $x$ augmente (décroissance exponentielle en valeur absolue) : donc $a < 0$, option C (ici $a = -0{,}5$).

Question 9 : On admet que $y_p(x) = x e^{2x}$ est une solution particulière de $y' = 2y + e^{2x}$. Quelles sont toutes les solutions ?

• $y = Ce^{2x}$
• $y = xe^{2x} + C$
• $y = xe^{2x} + Ce^{-2x}$
• ✓ $y = (x + C)e^{2x}$, $C \in \mathbb{R}$

Explication : **Méthode 5 (résoudre $y' = ay + f$ avec une solution particulière)** : d'après le **Théorème 7**, les solutions de $y' = ay + f$ sont la somme de la solution particulière $y_p$ et des solutions de l'équation homogène $y' = ay$, qui sont les $Ce^{ax}$ (**Théorème 5**). Ici $a = 2$ : $y = xe^{2x} + Ce^{2x} = (x + C)e^{2x}$, option D. Vérification : $y' = e^{2x} + 2(x+C)e^{2x} = 2y + e^{2x}$. L'option C est fausse car l'homogène donne $e^{2x}$, pas $e^{-2x}$.

Question 10 : Question type bac. La température $T(t)$ d'un café (en °C, $t$ en minutes) vérifie $T' = -0{,}1(T - 20)$ avec $T(0) = 80$. Quelle est l'expression de $T(t)$ ?

• ✓ $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$
• $T(t) = 80e^{-0{,}1t}$
• $T(t) = 20 + 80e^{-0{,}1t}$
• $T(t) = 60 + 20e^{-0{,}1t}$

Explication : **Méthode 6 (modéliser par $y' = ay + b$)** : on développe pour mettre l'équation sous la forme du **Théorème 6** : $T' = -0{,}1T + 2$, avec $a = -0{,}1$ et $b = 2$. On applique alors la **Méthode 4** : solution constante $T_p = -\frac{b}{a} = 20$ (la température ambiante), solutions $T = Ce^{-0{,}1t} + 20$. La condition initiale $T(0) = C + 20 = 80$ donne $C = 60$ : $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$, option A. Quand $t \to +\infty$, le café tend vers 20 °C, ce qui est cohérent.