Comment montrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?

Il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (deux produits scalaires nuls). Le vecteur directeur est alors un vecteur normal au plan.

Quelle est la différence entre droites orthogonales et droites perpendiculaires ?

Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont, même sans point commun. Elles sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes. Dans un cube, $(AE)$ et $(HG)$ sont orthogonales mais pas perpendiculaires.

Produit scalaire et applications

Définitions

Définition 1 — produit scalaire de deux vecteurs de l’espace. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ admettent toujours des représentants $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ dans un même plan ; leur produit scalaire est celui calculé dans ce plan : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}, \vec{v}) \qquad (\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \text{ si l'un est nul}).$

Définition 2 — vecteurs orthogonaux. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires ; le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Définition 3 — base et repère orthonormés. Une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est orthonormée si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1 ; un repère est orthonormé si sa base l’est.

Définition 4 — droites orthogonales, droite orthogonale à un plan. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (elles sont perpendiculaires si elles sont de plus sécantes). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Définition 5 — vecteur normal. Un vecteur $\vec{n} \neq \vec{0}$ est normal à un plan $\mathcal{P}$ s’il dirige une droite orthogonale à $\mathcal{P}$ .

Définition 6 — projeté orthogonal. Le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $d$ est le point $H \in d$ tel que $\overrightarrow{HM}$ soit orthogonal à un vecteur directeur de $d$ ; sur un plan $\mathcal{P}$ , c’est le point $H$ , intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $M$ dirigée par un vecteur normal.

Définition 7 — plan médiateur. Le plan médiateur de $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $MA = MB$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (propriétés du produit scalaire).

Propriété	Énoncé
Symétrie	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Bilinéarité	$\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \cdot \vec{v} + b\,\vec{u} \cdot \vec{w}$ (et de même à gauche)
Carré scalaire	$\vec{u} \cdot \vec{u} = \\|\vec{u}\\|^2$

Théorème 2 (caractérisation de l’orthogonalité). $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Théorème 3 (expressions en repère orthonormé). Pour $\vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y'\,;\,z')$ dans une base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz', \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \qquad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2},$ et pour des vecteurs non nuls $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ .

Théorème 4 (développements et formules de polarisation). $\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2, \qquad \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \frac{1}{4}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right).$

Théorème 5 (droite orthogonale à un plan). Une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$ (la bilinéarité étend alors l’orthogonalité à toutes les droites du plan).

Théorème 6 (plan défini par un point et un vecteur normal). Étant donnés un point $A$ et $\vec{n} \neq \vec{0}$ , il existe un unique plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et normal à $\vec{n}$ : $M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0.$ En repère orthonormé, le plan d’équation $ax + by + cz + d = 0$ admet $\vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ pour vecteur normal.

Théorème 7 (plans perpendiculaires, plans parallèles). Deux plans sont perpendiculaires $\iff$ leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ; ils sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Théorème 8 (le projeté orthogonal minimise la distance). (démonstration exigible) Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ : pour tout $N \in \mathcal{P}$ , $MN^2 = MH^2 + HN^2 \geq MH^2$ (Pythagore, car $\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{HN}$ ), avec égalité seulement pour $N = H$ . Le même résultat vaut pour le projeté sur une droite. La distance de $M$ à $\mathcal{P}$ (ou à $d$ ) est $MH$ .

Théorème 9 (distance d’un point à un plan). Si $\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0$ en repère orthonormé : $d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$

Théorème 10 (plan médiateur). Le plan médiateur de $[AB]$ est le plan passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et normal à $\overrightarrow{AB}$ : $MA = MB \iff \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ .

Méthodes

Méthode 1 — démontrer une orthogonalité par le produit scalaire.

Se placer en repère orthonormé et calculer $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ (Théorème 3).
Conclure : produit nul $\iff$ vecteurs orthogonaux (Théorème 2) — pour des plans, appliquer cela aux vecteurs normaux (Théorème 7).

Exemple : $(1\,;\,2\,;\,-1) \cdot (3\,;\,-1\,;\,1) = 0$ : vecteurs orthogonaux.

Méthode 2 — calculer un angle ou une longueur.

Calculer les coordonnées des vecteurs utiles, puis produit scalaire et normes (Théorème 3).
Pour un angle : $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ ; pour une longueur hors coordonnées, développer avec le Théorème 4.

Exemple : angle entre $(1\,;\,1\,;\,0)$ et $(1\,;\,0\,;\,0)$ : $\cos\theta = \tfrac{1}{\sqrt 2}$ , $\theta = 45^\circ$ .

Méthode 3 — démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan.

Choisir deux vecteurs non colinéaires $\vec{v}$ , $\vec{w}$ du plan.
Vérifier $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ pour un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite.
Conclure avec le Théorème 5 : $\vec{u}$ est alors un vecteur normal au plan (Définition 5).

Exemple : dans le cube, $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ : $(AE) \perp (ABD)$ .

Méthode 4 — déterminer le projeté orthogonal sur une droite.

Écrire $H = A + t\vec{u}$ (point courant de la droite).
Imposer $\overrightarrow{HM} \cdot \vec{u} = 0$ , ce qui donne $t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}$ .
En déduire $H$ , puis $d(M, d) = MH$ si besoin.

Exemple : $d$ par $O$ dirigée par $(1\,;\,0\,;\,1)$ , $M(3\,;\,1\,;\,2)$ : $t = \tfrac52$ , $H\left(\tfrac52\,;\,0\,;\,\tfrac52\right)$ .

Méthode 5 — déterminer le projeté orthogonal sur un plan et la distance.

Écrire $H = M + t\vec{n}$ , soit $H(x_M + ta\,;\,y_M + tb\,;\,z_M + tc)$ avec $\vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ normal au plan (Théorème 6).
Déterminer $t$ en imposant $H \in \mathcal{P}$ (équation du plan).
Alors $d(M, \mathcal{P}) = MH = |t|\,\|\vec{n}\|$ , ce qui redonne la formule du Théorème 9.

Exemple : $M(1\,;\,2\,;\,3)$ , $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 1 = 0$ : $t = -\tfrac59$ , $MH = \tfrac59 \times 3 = \tfrac53$ .

Méthode 6 — déterminer un lieu géométrique (plan médiateur).

Traduire la condition : $MA = MB \iff MA^2 = MB^2$ , ou directement $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ (Théorème 10).
Développer en coordonnées pour obtenir une équation de plan.

Exemple : $A(1\,;\,0\,;\,0)$ , $B(3\,;\,0\,;\,0)$ : plan médiateur $x = 2$ .

Méthode 7 — équation cartésienne d’un plan passant par trois points non alignés.

Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
Chercher $\vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ tel que $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ (système, solutions proportionnelles : en fixer une).
Écrire $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ avec le point $A$ (Théorème 6) et développer en $ax + by + cz + d = 0$ ; vérifier avec les trois points.

Exemple : $A(1\,;\,0\,;\,0)$ , $B(0\,;\,1\,;\,0)$ , $C(0\,;\,0\,;\,1)$ : $\vec{n}\,(1\,;\,1\,;\,1)$ , équation $x + y + z = 1$ .

Méthode 8 — intersection d’une droite et d’un plan.

Substituer la représentation paramétrique de $d$ (chapitre « Droites, plans et vecteurs de l’espace ») dans l’équation de $\mathcal{P}$ : équation du premier degré en $t$ .
Discuter : solution unique → sécants (reporter $t$ pour le point) ; aucune solution ( $0 = k \neq 0$ ) → droite strictement parallèle ; toujours vraie ( $0 = 0$ ) → droite incluse.
Contrôler : le cas parallèle correspond à $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ (Théorème 2).

Exemple : $(1 + 2t) + 2(-1 + t) - (2 - t) + 3 = 5t = 0$ : point d’intersection $(1\,;\,-1\,;\,2)$ .

Méthode 9 — position relative de deux plans à partir de leurs équations.

Comparer les vecteurs normaux (Théorème 7) : non colinéaires → plans sécants selon une droite ; colinéaires → plans parallèles.
Si les normales sont colinéaires, comparer les équations : proportionnelles → confondus ; sinon → strictement parallèles.
Une droite de l’espace peut ainsi se décrire comme intersection de deux plans sécants (système de deux équations).

Exemple : $x + y + z = 3$ et $2x + 2y + 2z = 1$ : normales colinéaires, équations non proportionnelles, plans strictement parallèles.

À retenir contre les pièges. Un produit scalaire nul signifie orthogonaux, pas colinéaires. Le terme constant $d$ d’une équation de plan n’apparaît pas dans le vecteur normal. La distance d’un point à un plan se mesure au projeté orthogonal, pas à un point quelconque du plan.

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