Quiz — Produit scalaire et applications

Question 1 : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}\,(1\,;\,2\,;\,-1)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,-1\,;\,1)$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et qu'en déduit-on ?

• $4$ : les vecteurs sont colinéaires
• $2$ : l'angle est aigu
• $-1$ : l'angle est obtus
• ✓ $0$ : les vecteurs sont orthogonaux

Explication : **Méthode 1 (démontrer une orthogonalité)** : en repère orthonormé, le **Théorème 3** donne $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. D'après le **Théorème 2**, un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v}$. Attention, un produit scalaire nul n'indique jamais une colinéarité. C'est l'option D.

Question 2 : Soient $d : x = 1 + 2t,\ y = -1 + t,\ z = 2 - t$ et $\mathcal{P} : x + 2y - z + 3 = 0$. Que vaut leur intersection ?

• Vide : $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$
• $d$ tout entière
• Le point $(3\,;\,0\,;\,1)$
• ✓ Le point $(1\,;\,-1\,;\,2)$

Explication : **Méthode 8 (intersection d'une droite et d'un plan)** : on substitue la représentation paramétrique dans l'équation du plan : $(1 + 2t) + 2(-1 + t) - (2 - t) + 3 = 5t = 0$. L'équation a une solution unique $t = 0$ : la droite et le plan sont sécants, et le point d'intersection, obtenu pour $t = 0$, est $(1\,;\,-1\,;\,2)$. C'est l'option D.

Question 3 : Soient $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et $B(3\,;\,-2\,;\,3)$ dans un repère orthonormé. Que vaut $AB$ ?

• $\sqrt{5}$
• ✓ $3$
• $9$
• $\sqrt{7}$

Explication : **Méthode 2 (calculer une longueur)** : on calcule d'abord $\overrightarrow{AB}\,(3-1\,;\,-2-0\,;\,3-2) = (2\,;\,-2\,;\,1)$, puis on applique la formule de la distance du **Théorème 3** : $AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$. C'est l'option B.

Question 4 : Quelle est la mesure de l'angle entre $\vec{u}\,(1\,;\,1\,;\,0)$ et $\vec{v}\,(1\,;\,0\,;\,0)$ ?

• $30^\circ$
• $60^\circ$
• ✓ $45^\circ$
• $90^\circ$

Explication : **Méthode 2 (calculer un angle)** : d'après la **Définition 1** du produit scalaire, $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$. Le **Théorème 3** donne $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$, $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ et $\|\vec{v}\| = 1$, d'où $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, soit un angle de $45^\circ$. C'est l'option C.

Question 5 : Quel vecteur est normal au plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$ ?

• ✓ $\vec{n}\,(2\,;\,-3\,;\,1)$
• $\vec{n}\,(2\,;\,-3\,;\,-5)$
• $\vec{n}\,(-5\,;\,2\,;\,-3)$
• $\vec{n}\,(1\,;\,-3\,;\,2)$

Explication : D'après le **Théorème 6**, un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ en repère orthonormé admet pour vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ (**Définition 5**) : on lit les coefficients de $x$, $y$, $z$ dans l'ordre, soit $\vec{n}\,(2\,;\,-3\,;\,1)$. Le terme constant $d = -5$ fixe la position du plan mais n'intervient pas dans sa direction normale. C'est l'option A.

Question 6 : Quelle est la distance du point $M(1\,;\,2\,;\,3)$ au plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 1 = 0$ ?

• $5$
• $\dfrac{5}{9}$
• $\dfrac{7}{3}$
• ✓ $\dfrac{5}{3}$

Explication : **Théorème 9 (distance d'un point à un plan)** : $d(M, \mathcal{P}) = \dfrac{|2 \times 1 - 2 + 2 \times 3 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \dfrac{5}{3}$. C'est la longueur $MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ (**Définition 6**) : la **Méthode 5** le retrouve en écrivant $H = M + t\vec{n}$, $H \in \mathcal{P}$ donne $t = -\tfrac59$, puis $MH = |t|\,\|\vec{n}\| = \tfrac59 \times 3 = \tfrac53$. C'est l'option D.

Question 7 : On sait que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$. Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?

• $13$
• ✓ $11$
• $25$
• $12$

Explication : **Théorème 4 (développement de la norme d'une somme)** : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$, grâce à la bilinéarité et à la symétrie du **Théorème 1**. Ici : $4 + 2 \times (-1) + 9 = 11$. Oublier le double produit scalaire donnerait $13 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$, qui n'est correct que pour des vecteurs orthogonaux. C'est l'option B.

Question 8 : Soit $\mathcal{P} : x + y + z = 0$. Lequel de ces plans est perpendiculaire à $\mathcal{P}$ ?

• $x + y + z = 4$
• $2x + 2y + 2z = 1$
• ✓ $x - y = 3$
• $x + y - z = 0$

Explication : D'après le **Théorème 7**, deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. **Méthode 1** avec les normales lues par le **Théorème 6** : $\vec{n}\,(1\,;\,1\,;\,1)$ pour $\mathcal{P}$ et $\vec{n}'\,(1\,;\,-1\,;\,0)$ pour $x - y = 3$ : $\vec{n} \cdot \vec{n}' = 1 - 1 + 0 = 0$ (**Théorème 2**). Les deux premiers plans ont des normales colinéaires à $\vec{n}$ : ils sont parallèles à $\mathcal{P}$ ; et $(1\,;\,1\,;\,-1) \cdot (1\,;\,1\,;\,1) = 1 \neq 0$. C'est l'option C.

Question 9 : Soit $d$ la droite passant par $O$ de vecteur directeur $\vec{u}\,(1\,;\,0\,;\,1)$ et $M(3\,;\,1\,;\,2)$. Quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ ?

• ✓ $\left(\tfrac52\,;\,0\,;\,\tfrac52\right)$
• $(3\,;\,0\,;\,2)$
• $(5\,;\,0\,;\,5)$
• $(1\,;\,0\,;\,1)$

Explication : **Méthode 4 (projeté orthogonal sur une droite)** : $H \in d$ s'écrit $H(t\,;\,0\,;\,t)$, et on impose $\overrightarrow{HM} \cdot \vec{u} = 0$ (**Définition 6**) : $(3 - t) \times 1 + 1 \times 0 + (2 - t) \times 1 = 5 - 2t = 0$, donc $t = \tfrac52$ et $H\left(\tfrac52\,;\,0\,;\,\tfrac52\right)$. On retrouve directement $t = \dfrac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} = \dfrac{3 + 2}{2} = \dfrac52$, formule de la **Méthode 4**. C'est l'option A.

Question 10 : Soient $A(1\,;\,0\,;\,0)$ et $B(3\,;\,0\,;\,0)$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $MA = MB$ ?

• La droite $(AB)$
• ✓ Le plan d'équation $x = 2$
• Le point $I(2\,;\,0\,;\,0)$
• La sphère de diamètre $[AB]$

Explication : **Théorème 10 (plan médiateur)** : l'ensemble des points $M$ tels que $MA = MB$ est le plan passant par le milieu $I(2\,;\,0\,;\,0)$ de $[AB]$ et normal à $\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,0\,;\,0)$ (**Définition 7**). **Méthode 6** : l'équation $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ donne $2(x - 2) = 0$, soit $x = 2$. On peut aussi développer $MA^2 = MB^2$ : $(x-1)^2 = (x-3)^2$ conduit au même plan $x = 2$. C'est l'option B.