Comment reconnaître une situation modélisée par une loi binomiale ?

Il faut une épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$, échec), répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, et une variable $X$ qui compte le nombre de succès. Un tirage avec remise convient ; un tirage sans remise ne convient pas car les tirages ne sont pas indépendants.

Comment calculer $P(X \geq k)$ ou $P(a \leq X \leq b)$ ?

On passe par l'événement contraire ou par des différences de probabilités cumulées : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ et $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$. La calculatrice ou un programme fournit les valeurs de $P(X \leq k)$.

Comment résoudre un problème de seuil du type « au moins un succès avec probabilité supérieure à 0,99 » ?

On écrit $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n \geq 0{,}99$, soit $(1 - p)^n \leq 0{,}01$. On résout avec le logarithme : $n \geq \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln(1 - p)}$ (l'inégalité change de sens car $\ln(1 - p) < 0$), ou on teste des valeurs de $n$ avec un algorithme.

Loi binomiale — BgMaths

Définitions

Définition 1 — Succession d’épreuves indépendantes. On enchaîne $n$ expériences aléatoires dont les résultats ne s’influencent pas. Une issue de l’expérience globale est un $n$ -uplet $(x_1, \ldots, x_n)$ , élément du produit cartésien des univers. On représente la situation par un arbre.

Définition 2 — Épreuve et loi de Bernoulli. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1 - p$ ). La variable $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $P(X = 1) = p$ , $P(X = 0) = 1 - p$ .

Définition 3 — Schéma de Bernoulli. Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p$ . L’arbre associé possède $2^n$ chemins.

Définition 4 — Loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (probabilité d’une issue). Pour une succession d’épreuves indépendantes : $P\big((x_1, \ldots, x_n)\big) = P(x_1) \times P(x_2) \times \cdots \times P(x_n).$ Sur un arbre : la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent. (Pour deux ou trois épreuves quelconques, non indépendantes, on utilise l’arbre avec des probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales.)

Théorème 2 (espérance et variance de la loi de Bernoulli). Si $X \sim \mathcal{B}(p)$ : $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p)$ .

Théorème 3 (expression de la loi binomiale). (démonstration exigible) Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors pour tout $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ : $\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1 - p)^{n - k}}$ Idée de la démonstration : par le Théorème 1, chaque issue à $k$ succès a pour probabilité $p^k (1 - p)^{n - k}$ , et il y a $\binom{n}{k}$ façons de choisir les positions des $k$ succès parmi les $n$ épreuves (autant de chemins dans l’arbre).

Théorème 4 (cas particuliers et symétrie). $P(X = 0) = (1 - p)^n$ ; $P(X = n) = p^n$ ; $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ . Le nombre d’échecs $n - X$ suit $\mathcal{B}(n, 1 - p)$ .

Théorème 5 (espérance, variance, écart-type de la loi binomiale). (démonstration exigible, voir le cours « Somme de variables aléatoires ») Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

$E(X)$	$V(X)$	$\sigma(X)$
$np$	$np(1 - p)$	$\sqrt{np(1 - p)}$

Théorème 6 (probabilités cumulées). $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$ ; $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ ; $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ . Les valeurs $P(X \leq k)$ s’obtiennent à la calculatrice ou par un programme.

Méthodes

Méthode 1 — reconnaître une situation binomiale.

Vérifier que chaque épreuve a exactement deux issues et identifier le succès et sa probabilité $p$ .
Vérifier que l’épreuve est répétée $n$ fois à l’identique et de façon indépendante (tirage avec remise : oui ; sans remise : non).
Vérifier que $X$ compte le nombre de succès, puis conclure $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

Exemple. Tirer 3 boules avec remise et compter les rouges : $\mathcal{B}(3, p)$ . Sans remise, ce n’est pas un schéma de Bernoulli.

Méthode 2 — calculer $P(X = k)$ .

Justifier $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (Méthode 1).
Appliquer le Théorème 3, sans oublier le coefficient $\binom{n}{k}$ .

Exemple. 5 lancers de dé, $X$ = nombre de 6 : $P(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\tfrac16\right)^2\left(\tfrac56\right)^3 \approx 0{,}161$ .

Méthode 3 — probabilité « au moins… » ou cumulée.

Écrire l’événement à l’aide de $X$ et repérer si l’événement contraire est plus simple.
« Au moins un succès » : $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ (Théorème 4).
Sinon, se ramener aux probabilités cumulées $P(X \leq k)$ avec le Théorème 6.

Exemple. 4 lancers de pièce : $P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac12\right)^4 = \tfrac{15}{16}$ .

Méthode 4 — résoudre un problème de seuil sur $n$ (logarithme).

Traduire : $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n \geq s$ , soit $(1 - p)^n \leq 1 - s$ .
Appliquer $\ln$ : $n \ln(1 - p) \leq \ln(1 - s)$ ; l’inégalité change de sens car $\ln(1 - p) < 0$ .
Conclure $n \geq \dfrac{\ln(1 - s)}{\ln(1 - p)}$ et prendre le plus petit entier qui convient.

Exemple. $p = 0{,}1$ , $s = 0{,}99$ : $n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \approx 43{,}7$ , donc $n = 44$ .

Méthode 5 — déterminer un seuil sur $k$ par algorithme (surréservation). Chercher le plus petit entier $k$ tel que $P(X > k) \leq \alpha$ :

def seuil(n, p, alpha):
    k = 0
    while 1 - cumul(n, p, k) > alpha:   # cumul(n, p, k) = P(X <= k)
        k = k + 1
    return k

Exemple. 105 billets vendus, $p = 0{,}9$ , $\alpha = 0{,}05$ : seuil(105, 0.9, 0.05) renvoie le nombre de places garantissant un risque de surréservation d’au plus 5 %.

Méthode 6 — simuler une loi binomiale. random() renvoie un réel de $[0\,;\,1[$ : le test random() < p réussit avec probabilité $p$ .

from random import random

def bernoulli(p):          # 1 avec probabilité p, 0 sinon
    if random() < p:
        return 1
    return 0

def binom(n, p):           # une valeur de X ~ B(n, p)
    s = 0
    for _ in range(n):
        s = s + bernoulli(p)
    return s

Exemple. [binom(10, 0.3) for _ in range(1000)] simule un échantillon ; la planche de Galton à $n$ rangées de clous correspond à binom(n, 0.5).

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