Quiz — Loi binomiale

Question 1 : On lance 5 fois un dé équilibré et $X$ compte le nombre de 6 obtenus. Que vaut $P(X = 2)$ (arrondi au millième) ?

• $0{,}028$
• $0{,}402$
• ✓ $0{,}161$
• $0{,}016$

Explication : **Méthode 2 (calculer $P(X = k)$)** : chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 » ($p = \tfrac16$), répétée 5 fois de façon identique et indépendante, donc $X \sim \mathcal{B}(5, \tfrac16)$. Par le **Théorème 3**, $P(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\tfrac16\right)^2\left(\tfrac56\right)^3$. Comme $\binom{5}{2} = 10$, on obtient $10 \times \tfrac{1}{36} \times \tfrac{125}{216} \approx 0{,}161$ : option C. Oublier le coefficient binomial conduirait à $0{,}016$.

Question 2 : Laquelle de ces situations est correctement modélisée par un schéma de Bernoulli ?

• ✓ Tirer 3 boules avec remise dans une urne et compter les boules rouges
• Tirer 3 boules sans remise dans une urne et compter les boules rouges
• Lancer un dé et noter le numéro obtenu
• Lancer 3 dés et calculer la somme des résultats

Explication : **Méthode 1 (reconnaître une situation binomiale)** : il faut une épreuve à deux issues, répétée à l'identique et de façon indépendante, et une variable qui compte les succès (**Définition 3**). Avec remise, chaque tirage est une épreuve de Bernoulli (« rouge » ou non) de même paramètre et les tirages sont indépendants : option A. Sans remise, la composition de l'urne change à chaque tirage : les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes. Les deux dernières situations ne comptent pas des succès (un dé a six issues, et une somme n'est pas un comptage).

Question 3 : Si $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$, que vaut $E(X)$ ?

• $4{,}2$
• ✓ $6$
• $14$
• $0{,}3$

Explication : Par le **Théorème 5 (espérance, variance, écart-type de la loi binomiale)**, $E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6$ : option B. La valeur $4{,}2 = np(1 - p)$ est la variance $V(X)$, et $14 = n(1 - p)$ est l'espérance du nombre d'échecs $n - X$ (**Théorème 4**). En moyenne, 6 des 20 épreuves sont des succès.

Question 4 : On lance 4 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un « pile » ?

• $\dfrac{1}{16}$
• $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{4}{16}$
• ✓ $\dfrac{15}{16}$

Explication : **Méthode 3 (probabilité « au moins un »)** : le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile ». Ici $X \sim \mathcal{B}(4, \tfrac12)$ et, par le **Théorème 4**, $P(X = 0) = \left(\tfrac12\right)^4 = \tfrac{1}{16}$. Donc $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \tfrac{1}{16} = \tfrac{15}{16}$ : option D.

Question 5 : Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, on lit $P(X \leq 2) = 0{,}38$ et $P(X \leq 3) = 0{,}65$. Que vaut $P(X \geq 3)$ ?

• ✓ $0{,}62$
• $0{,}35$
• $0{,}27$
• $0{,}38$

Explication : **Méthode 3 (ramener aux probabilités cumulées)** : « $X \geq 3$ » est le contraire de « $X \leq 2$ ». Par le **Théorème 6**, $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0{,}38 = 0{,}62$ : option A. Attention aux pièges : $0{,}35 = 1 - P(X \leq 3)$ correspond à $P(X \geq 4)$, et $0{,}27 = P(X \leq 3) - P(X \leq 2)$ est $P(X = 3)$.

Question 6 : Une pièce d'un lot est défectueuse avec probabilité $0{,}1$, indépendamment des autres. Quel est le plus petit nombre $n$ de pièces à contrôler pour que la probabilité d'en trouver au moins une défectueuse dépasse $0{,}99$ ?

• $10$
• $22$
• ✓ $44$
• $100$

Explication : **Méthode 4 (problème de seuil sur $n$)** : avec $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}1)$, le **Théorème 4** donne $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}9^n$. On résout $1 - 0{,}9^n > 0{,}99$, c'est-à-dire $0{,}9^n < 0{,}01$. En appliquant le logarithme : $n \ln 0{,}9 < \ln 0{,}01$ et, comme $\ln 0{,}9 < 0$, le sens de l'inégalité change : $n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \approx 43{,}7$. Le plus petit entier qui convient est $n = 44$ : option C.

Question 7 : On répète 3 fois une épreuve dont le succès $S$ a pour probabilité $0{,}2$. Quelle est la probabilité de l'issue $(S, E, S)$ dans cet ordre ?

• $0{,}096$
• ✓ $0{,}032$
• $0{,}008$
• $0{,}4$

Explication : Par le **Théorème 1 (probabilité d'une issue)**, dans une succession d'épreuves indépendantes la probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses composantes. Sur l'arbre, le chemin $(S, E, S)$ a pour probabilité $0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}032$ : option B. La valeur $0{,}096 = \binom{3}{2} \times 0{,}032$ serait $P(X = 2)$, la probabilité d'obtenir exactement deux succès tous ordres confondus (**Théorème 3**).

Question 8 : Si $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$, que vaut l'écart-type $\sigma(X)$ ?

• $50$
• $25$
• $\sqrt{50}$
• ✓ $5$

Explication : Par le **Théorème 5**, $V(X) = np(1 - p) = 100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25$, puis $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{25} = 5$ : option D. Ne pas confondre : $50 = np$ est l'espérance, $25$ est la variance, et $\sqrt{50}$ proviendrait du calcul erroné $\sqrt{np}$.

Question 9 : On lance 4 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 « pile » ?

• ✓ $\dfrac{1}{4}$
• $\dfrac{1}{16}$
• $\dfrac{3}{16}$
• $\dfrac{3}{4}$

Explication : **Méthode 2 (calculer $P(X = k)$)** : $X \sim \mathcal{B}(4, \tfrac12)$ et, par le **Théorème 3**, $P(X = 3) = \binom{4}{3}\left(\tfrac12\right)^3\left(\tfrac12\right)^1 = 4 \times \tfrac{1}{16} = \tfrac14$ : option A. Le coefficient $\binom{4}{3} = 4$ compte les positions possibles des 3 « pile » parmi les 4 lancers ; l'oublier conduit à $\tfrac{1}{16}$.

Question 10 : Une compagnie vend 105 billets pour 100 places ; chaque passager se présente avec probabilité $0{,}9$ indépendamment des autres. Un programme calcule, pour $X \sim \mathcal{B}(105\,;\,0{,}9)$, la plus petite valeur de $k$ telle que $P(X > k) \leq 0{,}05$. Que représente ce $k$ ?

• Le nombre moyen de passagers présents
• Le nombre de billets à vendre pour remplir l'avion
• ✓ Le nombre de places tel que le risque de surréservation soit au plus 5 %
• La probabilité qu'un passager ne se présente pas

Explication : **Méthode 5 (seuil sur $k$ par algorithme)** : $X$ compte les passagers présents, donc $P(X > k)$ est la probabilité que plus de $k$ passagers se présentent, c'est-à-dire qu'il manque des places si l'avion en compte $k$. Le programme part de $k = 0$ et incrémente tant que $1 - P(X \leq k) > 0{,}05$, en utilisant $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$ (**Théorème 6**). Le plus petit $k$ renvoyé est donc le nombre de places garantissant un risque de surréservation d'au plus 5 % : option C.