Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée d'une implication ?

Pour l'implication « si $P$ alors $Q$ », la réciproque est « si $Q$ alors $P$ » : elle peut être vraie ou fausse indépendamment de l'implication de départ. La contraposée est « si non $Q$ alors non $P$ » : elle est toujours équivalente à l'implication de départ, ce qui permet de démontrer l'une en démontrant l'autre.

Comment formuler la négation d'une proposition avec un quantificateur ?

La négation de « pour tout $x$, $P(x)$ » est « il existe $x$ tel que non $P(x)$ ». La négation de « il existe $x$ tel que $P(x)$ » est « pour tout $x$, non $P(x)$ ». Par exemple, la négation de « tout entier est pair » est « il existe un entier impair » (et non « tout entier est impair »).

Que signifie « condition nécessaire » et « condition suffisante » ?

Si « $P \Rightarrow Q$ » est vraie, $P$ est une condition suffisante pour $Q$ (il suffit d'avoir $P$ pour avoir $Q$) et $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (on ne peut pas avoir $P$ sans $Q$). Par exemple « $x > 2$ » est suffisante mais pas nécessaire pour « $x^2 > 4$ », puisque $x = -3$ convient aussi.

Logique et raisonnements

Définitions

Définition 1 — ensemble, appartenance, inclusion. $x \in E$ signifie que $x$ est un élément de $E$ ; l’ensemble vide $\varnothing$ n’a aucun élément. $A \subset E$ ( $A$ est une partie de $E$ ) signifie que tout élément de $A$ est élément de $E$ . Deux ensembles sont égaux s’ils ont les mêmes éléments : $A = B \iff A \subset B$ et $B \subset A$ .

Définition 2 — intersection, réunion, complémentaire. Pour $A$ , $B$ parties de $E$ :

Ensemble	Notation	$x$ en est élément si…	Connecteur
Intersection	$A \cap B$	$x \in A$ et $x \in B$	et
Réunion	$A \cup B$	$x \in A$ ou $x \in B$	ou
Complémentaire	$\bar{A}$ ou $E \setminus A$	$x \in E$ et $x \notin A$	non

$A$ et $B$ sont disjoints si $A \cap B = \varnothing$ .

Définition 3 — cardinal. Pour $A$ fini, $\text{Card}(A)$ est le nombre d’éléments de $A$ .

Définition 4 — couple, n-uplet, produit cartésien. Un couple $(a, b)$ est ordonné : $(1, 2) \neq (2, 1)$ alors que $\{1, 2\} = \{2, 1\}$ . Le produit cartésien $A \times B$ est l’ensemble des couples $(a, b)$ avec $a \in A$ , $b \in B$ ; on définit de même les triplets, les $n$ -uplets et $A^n$ . Exemples : $\mathbb{R}^2$ (le plan repéré), $\mathbb{R}^3$ (l’espace), $\{0, 1\}^n$ (mots binaires).

Définition 5 — proposition. Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux ; elle peut dépendre d’une variable (« $x^2 \geq 1$ »). Connecteurs : « $P$ et $Q$ » (vraie si les deux le sont), « $P$ ou $Q$ » (ou inclusif : au moins l’une), « non $P$ ».

Définition 6 — implication, réciproque, contraposée, équivalence. L’implication $P \Rightarrow Q$ se lit « si $P$ alors $Q$ ». Sa réciproque est $Q \Rightarrow P$ ; sa contraposée est $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ . L’équivalence $P \Leftrightarrow Q$ signifie $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ .

Définition 7 — condition nécessaire, condition suffisante. Si $P \Rightarrow Q$ est vraie, $P$ est une condition suffisante pour $Q$ et $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ . Une propriété caractéristique est une condition nécessaire et suffisante.

Définition 8 — quantificateurs. « Pour tout $x$ de $E$ , $P(x)$ » est vraie si $P(x)$ l’est pour chaque élément de $E$ (quantificateur universel) ; « il existe $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ » est vraie s’il y a au moins un tel $x$ (existentiel). Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles. L’ordre des quantificateurs compte.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (calculs de cardinaux). Pour des ensembles finis : $\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B), \qquad \text{Card}(\bar{A}) = \text{Card}(E) - \text{Card}(A), \qquad \text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B).$ Si $A$ et $B$ sont disjoints, $\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B)$ .

Théorème 2 (table de vérité de l’implication). $P \Rightarrow Q$ est fausse dans un seul cas : $P$ vraie et $Q$ fausse. En particulier, si $P$ est fausse, l’implication est vraie quelle que soit $Q$ .

Théorème 3 (contraposée). $P \Rightarrow Q$ est équivalente à sa contraposée $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ . La réciproque $Q \Rightarrow P$ , elle, peut être vraie ou fausse indépendamment de $P \Rightarrow Q$ .

Théorème 4 (négations).

Proposition	Négation
$P$ et $Q$	non $P$ ou non $Q$
$P$ ou $Q$	non $P$ et non $Q$
Pour tout $x$ , $P(x)$	Il existe $x$ tel que non $P(x)$
Il existe $x$ tel que $P(x)$	Pour tout $x$ , non $P(x)$

Théorème 5 (principe de récurrence). Si $P(n_0)$ est vraie (initialisation) et si, pour tout $n \geq n_0$ , $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (hérédité), alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ .

Méthodes

Méthode 1 — nier une proposition.

Échanger « et » ↔ « ou », « pour tout » ↔ « il existe » (Théorème 4).
Nier la propriété finale (une inégalité large devient stricte dans l’autre sens, etc.).

Exemple : la négation de « $x \geq 0$ et $x \leq 1$ » est « $x < 0$ ou $x > 1$ ».

Méthode 2 — réfuter un énoncé universel par un contre-exemple.

Chercher un élément qui vérifie l’hypothèse mais pas la conclusion.
Conclure : l’énoncé est faux (un seul contre-exemple suffit ; à l’inverse, un exemple ne démontre jamais un énoncé universel).

Exemple : « tout nombre premier est impair » est réfuté par $2$ .

Méthode 3 — raisonner par disjonction des cas.

Partager toutes les situations possibles en cas qui recouvrent tout.
Démontrer la propriété dans chaque cas.

Exemple : $n(n+1)$ est pair — si $n$ est pair, le produit l’est ; si $n$ est impair, $n+1$ est pair.

Méthode 4 — raisonner par contraposée.

Pour prouver $P \Rightarrow Q$ , formuler $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ (Théorème 3).
Démontrer cette contraposée par un raisonnement direct.

Exemple : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair » : si $n = 2k+1$ , alors $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair.

Méthode 5 — raisonner par l’absurde.

Supposer que la proposition à démontrer est fausse.
En déduire une contradiction ; conclure que la proposition est vraie.

Exemple : $\sqrt{2}$ irrationnel — si $\sqrt{2} = \tfrac{p}{q}$ irréductible, alors $p^2 = 2q^2$ donne $p$ puis $q$ pairs : contradiction.

Méthode 6 — démontrer par récurrence.

Initialisation : vérifier $P(n_0)$ .
Hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour un $n \geq n_0$ et en déduire $P(n+1)$ .
Conclusion : par le Théorème 5, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ . Les deux étapes sont indispensables : une hérédité sans initialisation ne prouve rien.

Exemple : $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ — initialisation $1 = \tfrac{1 \times 2}{2}$ , hérédité en ajoutant $n+1$ .

Méthode 7 — raisonner par équivalence, distinguer nécessaire et suffisant.

Pour $P \Leftrightarrow Q$ : raisonner par double implication, ou par une chaîne d’équivalences dont chaque étape est réversible.
Si seul $P \Rightarrow Q$ est vraie : $P$ est suffisante pour $Q$ , $Q$ est nécessaire pour $P$ (Définition 7) ; tester la réciproque par un contre-exemple (Méthode 2).
Résoudre une équation par implications seules donne des candidats à vérifier ensuite.

Exemple : « $x > 2$ » est suffisante pour « $x^2 > 4$ » mais pas nécessaire ( $x = -3$ ).

À retenir contre les pièges. Seule la contraposée — pas la réciproque — est équivalente à l’implication. On nie « pour tout » par « il existe… ne pas », jamais par « pour tout… ne pas ». Un exemple ne démontre pas un énoncé universel, un contre-exemple le réfute. Ne pas confondre $\{a, b\}$ (ensemble) et $(a, b)$ (couple), ni $\in$ et $\subset$ : $2 \in \{1, 2\}$ mais $\{2\} \subset \{1, 2\}$ .

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