Quiz — Logique et raisonnements

Question 1 : Quelle est la négation de « pour tout réel $x$, $x^2 \geq 1$ » ?

• Pour tout réel $x$, $x^2 < 1$
• Pour tout réel $x$, $x^2 \leq 1$
• ✓ Il existe un réel $x$ tel que $x^2 < 1$
• Il n'existe aucun réel $x$ tel que $x^2 \geq 1$

Explication : **Méthode 1 (nier une proposition)** : d'après le **Théorème 4**, la négation d'un « pour tout » est un « il existe » portant sur la propriété niée, et la négation de $x^2 \geq 1$ est $x^2 < 1$. On obtient donc « il existe un réel $x$ tel que $x^2 < 1$ ». Cette négation est d'ailleurs vraie ($x = 0$ convient), ce qui montre que l'énoncé de départ est faux (**Méthode 2**, contre-exemple). C'est l'option C.

Question 2 : Quelle est la contraposée de « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair » ?

• ✓ Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair
• Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair
• Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair
• Si $n$ est impair, alors $n^2$ est pair

Explication : D'après le **Théorème 3**, la contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ : on nie les deux propositions **et** on inverse le sens. Ici : « si $n$ n'est pas pair (donc impair), alors $n^2$ n'est pas pair (donc impair) ». C'est elle que l'on démontre facilement (**Méthode 4**) : $(2k+1)^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair. L'option C nie sans inverser le sens, et l'option B est la réciproque (**Définition 6**). C'est l'option A.

Question 3 : Soit l'implication « si $ABCD$ est un carré, alors $ABCD$ est un rectangle ». Que dire de sa réciproque ?

• Elle est vraie car l'implication est vraie
• C'est « si $ABCD$ n'est pas un carré, alors $ABCD$ n'est pas un rectangle »
• Elle est équivalente à l'implication
• ✓ C'est « si $ABCD$ est un rectangle, alors $ABCD$ est un carré », et elle est fausse

Explication : **Définition 6** : la réciproque échange hypothèse et conclusion, c'est donc « si $ABCD$ est un rectangle, alors $ABCD$ est un carré ». **Méthode 2 (réfuter par contre-exemple)** : un rectangle de côtés 2 et 3 vérifie l'hypothèse sans vérifier la conclusion, la réciproque est donc fausse, alors que l'implication de départ est vraie. D'après le **Théorème 3**, seule la contraposée — pas la réciproque — est équivalente à l'implication. C'est l'option D.

Question 4 : Soient $A = \{1, 2, 3, 4\}$ et $B = \{3, 4, 5\}$. Que vaut $\text{Card}(A \cup B)$ ?

• $7$
• ✓ $5$
• $2$
• $4$

Explication : La réunion regroupe les éléments d'au moins un des deux ensembles, sans doublon (**Définition 2**) : $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, soit 5 éléments. On retrouve ce résultat avec le **Théorème 1** : $\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B) = 4 + 3 - 2$, car $A \cap B = \{3, 4\}$. Répondre $7$ reviendrait à compter deux fois les éléments communs. C'est l'option B.

Question 5 : Dans $E = \{1, 2, \ldots, 10\}$, soit $A$ l'ensemble des nombres pairs. Quel est le complémentaire $\bar{A}$ de $A$ dans $E$ ?

• ✓ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$
• $\{2, 4, 6, 8, 10\}$
• $\varnothing$
• L'ensemble de tous les entiers impairs

Explication : **Définition 2 (complémentaire)** : $\bar{A} = E \setminus A$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont **pas** dans $A$, c'est-à-dire les impairs de 1 à 10 : $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Le complémentaire dépend de l'ensemble de référence $E$ : ce n'est pas l'ensemble de tous les entiers impairs. On contrôle avec le **Théorème 1** : $\text{Card}(\bar{A}) = \text{Card}(E) - \text{Card}(A) = 10 - 5 = 5$ éléments. C'est l'option A.

Question 6 : Pour un réel $x$, la condition « $x > 2$ » est, pour la propriété « $x^2 > 4$ »…

• nécessaire et suffisante
• nécessaire mais pas suffisante
• ✓ suffisante mais pas nécessaire
• ni nécessaire ni suffisante

Explication : **Méthode 7 (distinguer condition nécessaire et condition suffisante)** : l'implication « $x > 2 \Rightarrow x^2 > 4$ » est vraie, donc d'après la **Définition 7**, « $x > 2$ » est une condition **suffisante** pour « $x^2 > 4$ ». Elle n'est pas nécessaire : par la **Méthode 2**, le contre-exemple $x = -3$ vérifie $x^2 > 4$ sans vérifier $x > 2$, donc la réciproque est fausse. La condition nécessaire et suffisante (propriété caractéristique) serait « $x > 2$ ou $x < -2$ ». C'est l'option C.

Question 7 : Comment montrer que l'énoncé « tout nombre premier est impair » est faux ?

• En montrant que tout nombre premier est pair
• ✓ En donnant le contre-exemple $2$, qui est premier et pair
• En montrant que $9$ est impair mais pas premier
• En montrant qu'il existe une infinité de nombres premiers

Explication : **Méthode 2 (réfuter par contre-exemple)** : d'après le **Théorème 4**, la négation de « tout nombre premier est impair » est « il existe un nombre premier non impair » ; un seul contre-exemple suffit donc. Le nombre $2$ vérifie l'hypothèse (il est premier) mais pas la conclusion (il est pair) : l'énoncé est faux. Le nombre $9$ n'est pas premier, il ne contredit donc pas l'énoncé, et il est inutile (et faux) de montrer que tous les premiers sont pairs. C'est l'option B.

Question 8 : Que vaut $\text{Card}(\{a, b\} \times \{1, 2, 3\})$ ?

• $5$
• $8$
• $2$
• ✓ $6$

Explication : **Définition 4 (produit cartésien)** : $\{a, b\} \times \{1, 2, 3\}$ est l'ensemble des couples $(x, y)$ avec $x \in \{a, b\}$ et $y \in \{1, 2, 3\}$. D'après le **Théorème 1** (principe multiplicatif) : $\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B) = 2 \times 3 = 6$ couples. Additionner ($2 + 3 = 5$) serait une erreur. C'est l'option D.

Question 9 : Soit $P(n)$ : « $10^n + 1$ est divisible par $9$ ». On vérifie que $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ pour tout $n$, car $10^{n+1} + 1 = 10(10^n + 1) - 9$. Que peut-on conclure ?

• ✓ Rien : l'initialisation $P(0)$ est fausse ($10^0 + 1 = 2$), la propriété est fausse pour tout $n$
• $P(n)$ est vraie pour tout $n$ par récurrence
• $P(n)$ est vraie pour $n \geq 1$
• L'hérédité est fausse car $9$ n'est pas divisible par $10$

Explication : **Méthode 6 (démontrer par récurrence)** : le **Théorème 5** exige les **deux** étapes, initialisation et hérédité. Ici l'hérédité est correcte, mais l'initialisation échoue : $10^0 + 1 = 2$ n'est pas divisible par $9$, pas plus que $11$, $101$, etc. On ne peut donc rien conclure par récurrence ; en fait, la propriété est fausse pour tout $n$ (le reste de $10^n + 1$ dans la division par $9$ vaut toujours $2$). C'est l'option A.

Question 10 : Laquelle de ces implications est fausse ?

• Si $2 > 3$, alors $1 = 1$
• Si $2 > 3$, alors $1 = 2$
• ✓ Si $1 = 1$, alors $2 > 3$
• Si $1 = 1$, alors $2 = 2$

Explication : **Théorème 2 (table de vérité de l'implication)** : $P \Rightarrow Q$ n'est fausse que dans un seul cas, $P$ vraie et $Q$ fausse. C'est exactement le cas de « si $1 = 1$ alors $2 > 3$ » : hypothèse vraie, conclusion fausse. Dans les deux premières options, l'hypothèse $2 > 3$ est fausse : l'implication est alors vraie quelle que soit la conclusion. C'est l'option C.