Comment résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes ?

D'abord écrire les conditions d'existence (les arguments des ln doivent être strictement positifs). Ensuite regrouper en un seul logarithme de chaque côté grâce aux propriétés algébriques, puis utiliser que ln est strictement croissante : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a 0$). Enfin, confronter les solutions aux conditions d'existence.

Comment trouver le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^n \leq 0{,}01$ ?

On applique ln (strictement croissante) : $n\ln 0{,}8 \leq \ln 0{,}01$. Comme $\ln 0{,}8 < 0$, diviser change le sens : $n \geq \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6$. Le plus petit entier est $n = 21$. Ce type de calcul est très fréquent avec les suites géométriques.

Que signifie « croissance comparée » pour le logarithme ?

En $+\infty$, $\ln x$ tend vers $+\infty$ mais infiniment moins vite que toute puissance $x^n$ ($n \geq 1$) : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$. En 0, $\ln x$ tend vers $-\infty$ mais $x^n$ l'emporte : $\lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0$.

Fonction logarithme népérien

Définitions

Définition 1 — logarithme népérien. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec $\lim\limits_{-\infty} e^x = 0$ et $\lim\limits_{+\infty} e^x = +\infty$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $x > 0$ , l’équation $e^y = x$ admet une unique solution. On l’appelle le logarithme népérien de $x$ , noté $\ln x$ . La fonction $\ln$ , définie sur $]0\,;+\infty[$ , est la fonction réciproque de l’exponentielle :

$\text{pour } x > 0 \text{ et } y \in \mathbb{R} : \quad y = \ln x \iff x = e^y$

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (réciprocité ln/exp). $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$ , et $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$ . Valeurs remarquables : $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln\dfrac1e = -1$ . De plus $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$ .

Théorème 2 (propriétés algébriques — équation fonctionnelle). Pour tous réels $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

Propriété	Formule
Équation fonctionnelle	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
Inverse, quotient	$\ln\dfrac{1}{a} = -\ln a$ ; $\quad\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$
Puissance, racine	$\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\quad\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a$

Erreurs à éviter. $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ ; $(\ln a)^n \neq n\ln a$ .

Théorème 3 (dérivée de ln). (démonstration exigible, la dérivabilité étant admise) La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ . Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ , alors $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

Comme $\dfrac1x > 0$ , $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ ; comme $(\ln)''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ , $\ln$ est concave : sa courbe est sous ses tangentes, en particulier $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ (tangente en 1 : $y = x - 1$ ).

Fonction	Dérivée
$\ln(3x+1)$ ( $x > -\frac13$ )	$\dfrac{3}{3x+1}$
$\ln(x^2+1)$	$\dfrac{2x}{x^2+1}$
$x\ln x$	$\ln x + 1$
$(\ln x)^2$	$\dfrac{2\ln x}{x}$

Théorème 4 (limites et courbe).

$\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$

L’axe des ordonnées est asymptote verticale. Tableau de variations : $\ln$ croît de $-\infty$ à $+\infty$ , en s’annulant en 1. Les courbes de $\ln$ et de $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .

Théorème 5 (croissances comparées). Pour tout entier $n \geq 1$ :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x\to 0^+} x^n\ln x = 0$

(démonstration exigible pour $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln x = 0$ : poser $X = \frac1x$ et se ramener à $-\frac{\ln X}{X} \to 0$ ). Toute puissance $x^n$ l’emporte sur $\ln x$ , en $+\infty$ comme en $0$ .

Théorème 6 (stricte croissance : équations et inéquations). Pour tous $a, b > 0$ et $k \in \mathbb{R}$ :

$\ln a = \ln b \iff a = b \qquad \ln a < \ln b \iff a < b \qquad \ln a = k \iff a = e^k \qquad \ln a \leq k \iff a \leq e^k$

Méthodes

Méthode 1 — simplifier une expression avec ln. 1. Décomposer les arguments (produits, puissances). 2. Appliquer le Théorème 2 pour tout exprimer avec les mêmes logarithmes ( $\ln 2$ , $\ln 3$ …), ou regrouper en un seul $\ln$ . 3. Simplifier. Exemple : $\ln 50 - \ln 2 = \ln\frac{50}{2} = \ln 25 = 2\ln 5$ .

Méthode 2 — résoudre une équation avec ln. 1. Écrire les conditions d’existence (chaque argument $> 0$ ). 2. Regrouper en un seul logarithme de chaque côté (Théorème 2). 3. Appliquer le Théorème 6 : $\ln a = \ln b \iff a = b$ (ou $\ln a = k \iff a = e^k$ ). 4. Confronter les solutions aux conditions. Exemple : $\ln x + \ln(x-1) = \ln 6$ ( $x > 1$ ) : $x(x-1) = 6$ , donc $x = 3$ ou $x = -2$ ; seule $x = 3$ convient.

Méthode 3 — résoudre une inéquation avec ln ou exp. 1. Conditions d’existence. 2. Écrire les deux membres sous la forme $\ln(\dots)$ (ou appliquer $\exp$ ). 3. Utiliser la stricte croissance (Théorème 6) en conservant le sens. 4. Intersecter avec les conditions. Exemple : $\ln(2x-1) \leq 0$ : condition $x > \frac12$ , puis $2x - 1 \leq 1$ , d’où $S = \left]\frac12\,;1\right]$ .

Méthode 4 — seuil $q^n \leq k$ (suites géométriques). 1. Appliquer $\ln$ : $n\ln q \leq \ln k$ (Théorèmes 2 et 6). 2. Diviser par $\ln q$ en changeant le sens si $0 < q < 1$ (car $\ln q < 0$ ). 3. Conclure avec le plus petit entier qui convient. Exemple : $0{,}8^n \leq 0{,}01 \iff n \geq \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6$ : $n = 21$ .

Méthode 5 — dériver une fonction avec ln. 1. Repérer la structure : $\ln u$ , produit, quotient. 2. Appliquer $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ (Théorème 3) et les règles usuelles. 3. Simplifier pour pouvoir étudier le signe. Exemple : $(\ln(3x+1))' = \frac{3}{3x+1}$ ; $(x\ln x)' = \ln x + 1$ .

Méthode 6 — lever une indétermination par croissances comparées. 1. Identifier la forme indéterminée ( $\frac\infty\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ ). 2. Factoriser le terme prépondérant ou faire apparaître $\frac{\ln x}{x^n}$ ou $x^n\ln x$ . 3. Conclure avec le Théorème 5. Exemple : $\lim\limits_{x\to+\infty}(x - \ln x) = \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) = +\infty$ .

Méthode 7 — équation d’une tangente. 1. Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ . 2. Écrire $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . Exemple : tangente à $\ln$ en 1 : $y = x - 1$ ; la concavité (Théorème 3) place la courbe sous cette droite.

Méthode 8 — étudier une fonction avec ln (variations, extremum). 1. Dériver (Méthode 5). 2. Étudier le signe de $f'$ en résolvant $f'(x) > 0$ avec le Théorème 6. 3. Dresser le tableau de variations et lire l’extremum. 4. Calculer sa valeur exacte. Exemple : $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ , $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : maximum $f(e) = \frac1e$ .

Algorithme de Briggs (histoire des mathématiques) : en extrayant $n$ racines carrées successives, $\ln x \approx 2^n\left(x^{1/2^n} - 1\right)$ , car $\ln\sqrt x = \frac12\ln x$ et $\ln y \approx y - 1$ près de 1.

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