Quiz — Fonction logarithme népérien

Question 1 : Simplifier $\ln 8 - \ln 2 + \ln\left(\frac{1}{4}\right)$.

• $\ln 2$
• ✓ $0$
• $2\ln 2$
• $-\ln 2$

Explication : **Méthode 1 (simplifier une expression avec ln)** : on exprime tout en fonction de $\ln 2$ grâce au **Théorème 2 (propriétés algébriques)**. On a $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2$ et $\ln\frac14 = \ln(2^{-2}) = -2\ln 2$. L'expression vaut donc $3\ln 2 - \ln 2 - 2\ln 2 = 0$. Autre rédaction, toujours par le **Théorème 2** : $\ln 8 - \ln 2 + \ln\frac14 = \ln\frac{8 \times \frac14}{2} = \ln 1 = 0$. Réponse : option B.

Question 2 : Résoudre $\ln(2x - 3) = \ln(x + 1)$.

• ✓ $x = 4$
• $x = -4$
• $x = 2$
• Pas de solution

Explication : **Méthode 2 (résoudre une équation avec ln)**. Étape 1, conditions d'existence : $2x - 3 > 0$ et $x + 1 > 0$, soit $x > \frac32$. Étape 2 : d'après le **Théorème 6 (stricte croissance)**, $\ln(2x-3) = \ln(x+1) \iff 2x - 3 = x + 1$, c'est-à-dire $x = 4$. Étape 3 : on confronte à la condition d'existence, $4 > \frac32$ convient. Solution : $x = 4$, option A.

Question 3 : Résoudre l'inéquation $\ln(x) \leq 2$ sur $]0\,;+\infty[$.

• $x \leq 2$
• $0 < x \leq 2e$
• ✓ $0 < x \leq e^2$
• $x \geq e^2$

Explication : **Méthode 3 (résoudre une inéquation avec ln)**. La condition d'existence est $x > 0$. On écrit $2 = \ln(e^2)$ (**Théorème 1**, réciprocité) : l'inéquation devient $\ln x \leq \ln(e^2)$. D'après le **Théorème 6 (stricte croissance)**, elle équivaut à $x \leq e^2$. En tenant compte de la condition d'existence : $S = ]0\,;e^2]$, option C. Ne pas oublier que la borne 0 est exclue.

Question 4 : Quel est le plus petit entier $n$ tel que $0{,}7^n \leq 0{,}05$ ? (On donne $\ln 0{,}7 \approx -0{,}357$ et $\ln 0{,}05 \approx -2{,}996$.)

• $n = 8$
• ✓ $n = 9$
• $n = 7$
• $n = 84$

Explication : **Méthode 4 (seuil $q^n \leq k$)**. On applique $\ln$ aux deux membres, strictement positifs : d'après le **Théorème 6 (stricte croissance)**, $0{,}7^n \leq 0{,}05 \iff \ln(0{,}7^n) \leq \ln 0{,}05$, puis le **Théorème 2** donne $n\ln 0{,}7 \leq \ln 0{,}05$. Comme $\ln 0{,}7 < 0$, la division change le sens : $n \geq \frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}7} \approx 8{,}4$. Le plus petit entier est $n = 9$, option B. Vérification : $0{,}7^8 \approx 0{,}058 > 0{,}05$ et $0{,}7^9 \approx 0{,}040 \leq 0{,}05$.

Question 5 : Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?

• $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$
• $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$
• $f'(x) = 2x\ln(x^2+1)$
• ✓ $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

Explication : **Méthode 5 (dériver $\ln u$)** : on pose $u(x) = x^2 + 1$, strictement positive sur $\mathbb{R}$, et $u'(x) = 2x$. D'après le **Théorème 3 (dérivée de ln)**, $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, donc $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$, option D. L'option A oublie le facteur $u' = 2x$. Au passage, $f'$ a le signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 6 : Soit $g(x) = x\ln x - x$ sur $]0\,;+\infty[$. Que vaut $g'(x)$ ?

• ✓ $g'(x) = \ln x$
• $g'(x) = \ln x - 1$
• $g'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$
• $g'(x) = \ln x + 1$

Explication : **Méthode 5 (dériver avec ln)** : $x\ln x$ est un produit, de dérivée $(x\ln x)' = 1 \times \ln x + x \times \frac1x = \ln x + 1$, en utilisant $(\ln x)' = \frac1x$ du **Théorème 3**. Donc $g'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ : option A. Comme $\ln x \leq 0$ sur $]0\,;1]$ et $\ln x \geq 0$ sur $[1\,;+\infty[$, $g$ est décroissante puis croissante ; $g$ est d'ailleurs une primitive de $\ln$.

Question 7 : Que vaut $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ?

• $+\infty$
• $1$
• $e$
• ✓ $0$

Explication : C'est le cas $n = 1$ du **Théorème 5 (croissances comparées)** : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \geq 1$. Le quotient est une forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$, mais $\ln x$ croît infiniment moins vite que $x$ : la limite vaut 0, option D. Graphiquement, la courbe de $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ admet l'axe des abscisses pour asymptote en $+\infty$.

Question 8 : Que vaut $\lim\limits_{x\to 0^+} \left(x^2 \ln x\right)$ ?

• $-\infty$
• ✓ $0$
• $+\infty$
• $1$

Explication : **Méthode 6 (lever une indétermination par croissances comparées)** : la forme est $0 \times (-\infty)$. On écrit $x^2\ln x = x \times (x\ln x)$. D'après le **Théorème 5 (croissances comparées)**, $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$ ; comme de plus $x \to 0$, le produit tend vers $0 \times 0 = 0$ par opérations sur les limites. Réponse : option B. (On peut aussi appliquer directement le **Théorème 5** avec $n = 2$.)

Question 9 : La courbe ci-dessous représente $f(x) = \ln x$. Que vaut l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 ?

• $y = x + 1$
• $y = \dfrac{1}{x}$
• ✓ $y = x - 1$
• $y = x$

Explication : **Méthode 7 (équation d'une tangente)** : la tangente en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. D'après le **Théorème 3 (dérivée de ln)**, $f'(x) = \frac1x$, donc $f'(1) = 1$ ; et $f(1) = \ln 1 = 0$. D'où $y = 1 \times (x - 1) + 0 = x - 1$, option C. Comme $\ln$ est concave (**Théorème 3**), sa courbe est sous cette tangente : $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$.

Question 10 : Question type bac. Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. On a $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. Quel est le maximum de $f$ ?

• $f(1) = 0$
• $f(e^2) = \dfrac{2}{e^2}$
• ✓ $f(e) = \dfrac{1}{e}$
• $f$ n'a pas de maximum

Explication : **Méthode 8 (étudier une fonction avec ln)** : on étudie le signe de $f'$. Comme $x^2 > 0$, $f'(x)$ a le signe de $1 - \ln x$. D'après le **Théorème 6 (stricte croissance)**, $1 - \ln x > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < e$. Donc $f$ est croissante sur $]0\,;e]$ et décroissante sur $[e\,;+\infty[$ : elle atteint son maximum en $x = e$, et $f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac1e \approx 0{,}37$, option C. On en déduit l'inégalité $\ln x \leq \frac{x}{e}$ pour tout $x > 0$.