Comment savoir si une courbe admet une asymptote et laquelle ?

Si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (ou en $-\infty$), la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale. Si $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ (à gauche ou à droite), la droite $x = a$ est asymptote verticale. L'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante sont deux façons de dire la même chose.

Que faire face à une forme indéterminée ?

On transforme l'écriture : factoriser par le terme prépondérant dans une somme ($\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$), développer ou simplifier une fraction ($\frac{0}{0}$), utiliser la quantité conjuguée avec des racines, ou faire appel aux croissances comparées quand l'exponentielle intervient.

Pourquoi dit-on que l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$ ?

Parce que $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout entier $n$ : l'exponentielle croît plus vite que toute puissance. En conséquence $\lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0$ et $\lim_{x\to-\infty} x^n e^{x} = 0$. Ces résultats lèvent les formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ et $0 \times \infty$ mêlant polynôme et exponentielle.

Limites de fonctions

Définitions

Définition 1 — limite finie en $\pm\infty$ , asymptote horizontale. Dire que $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. La droite $y = \ell$ est alors asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ ; réciproquement, une asymptote horizontale $y = \ell$ traduit exactement cette limite. (Définition analogue en $-\infty$ .)

Définition 2 — limite infinie en $\pm\infty$ . Dire que $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ signifie que tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. (Définitions analogues pour $-\infty$ et en $-\infty$ .)

Définition 3 — limite en un point, asymptote verticale. Dire que $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty$ signifie que $f(x)$ dépasse tout réel $A$ dès que $x$ est assez proche de $a$ . La droite $x = a$ est alors asymptote verticale. La limite peut différer à gauche ( $x \to a^-$ ) et à droite ( $x \to a^+$ ) : $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac1x = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac1x = +\infty$ . Une limite en un point peut aussi être finie : $\lim\limits_{x\to 1}(x^2 + 3) = 4$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (opérations sur les limites) (admis). Somme, produit et quotient de limites suivent les mêmes règles que pour les suites, avec les conventions naturelles pour l’infini. Quatre situations ne permettent pas de conclure directement, les formes indéterminées :

$+\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$

Théorème 2 (composition des limites) (utilisé en contexte). Si $\lim\limits_{x\to a} u(x) = b$ et $\lim\limits_{X\to b} v(X) = \ell$ , alors $\lim\limits_{x\to a} v(u(x)) = \ell$ . Exemple : $\lim\limits_{x\to+\infty} e^{-x^2} = 0$ car $X = -x^2 \to -\infty$ et $e^X \to 0$ .

Limites des fonctions de référence :

Fonction	$\lim\limits_{x\to-\infty}$	$\lim\limits_{x\to 0}$	$\lim\limits_{x\to+\infty}$
$x^n$ ( $n \geq 1$ pair)	$+\infty$	$0$	$+\infty$
$x^n$ ( $n$ impair)	$-\infty$	$0$	$+\infty$
$\dfrac{1}{x^n}$	$0$	$+\infty$ en $0^+$ ; $\pm\infty$ en $0^-$ selon la parité	$0$
$\sqrt{x}$	—	$0$	$+\infty$
$e^x$	$0$	$1$	$+\infty$

Théorème 3 (comparaison). Si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$ , alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ . (De même vers $-\infty$ avec $f \leq g$ .)

Théorème 4 (gendarmes). Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim g = \lim h = \ell$ , alors $\lim f = \ell$ .

Théorème 5 (croissances comparées). (démonstration exigible pour $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n}$ ) Pour tout entier $n \geq 1$ :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^{x} = 0$

Retenir : en $+\infty$ , l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de $x$ .

Méthodes

Méthode 1 — factoriser par le terme prépondérant ( $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ ).

Repérer le terme de plus haut degré (au numérateur et au dénominateur).
Factoriser, simplifier, conclure avec le Théorème 1.

Exemple : $\dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5} = \dfrac{3 - 1/x}{1 + 5/x^2} \to 3$ ; $x^3 - 4x^2 = x^3\left(1 - \frac4x\right) \to +\infty$ . Automatisme : en $\pm\infty$ , un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, une fraction rationnelle celle du quotient des termes de plus haut degré.

Méthode 2 — simplifier une forme $\frac{0}{0}$ .

Factoriser le numérateur (et le dénominateur) pour faire apparaître le facteur qui s’annule.
Simplifier, puis passer à la limite.

Exemple : $\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x\to 1} (x + 1) = 2$ .

Méthode 3 — quantité conjuguée (racines carrées).

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée ( $\sqrt A + \sqrt B$ pour $\sqrt A - \sqrt B$ ).
Simplifier le numérateur avec $(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B) = A - B$ , puis conclure.

Exemple : $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \to 0$ en $+\infty$ .

Méthode 4 — quotient dont le dénominateur tend vers 0 en $a$ .

Déterminer la limite (non nulle) du numérateur en $a$ .
Faire un tableau de signes du dénominateur à gauche et à droite de $a$ .
Conclure séparément en $a^-$ et $a^+$ (asymptote verticale $x = a$ , Définition 3).

Exemple : $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ en 2 : numérateur $\to 3 > 0$ ; $x - 2 < 0$ à gauche, $> 0$ à droite, donc $\lim\limits_{2^-} f = -\infty$ et $\lim\limits_{2^+} f = +\infty$ .

Méthode 5 — utiliser les croissances comparées (exponentielle et puissances).

Identifier la forme indéterminée mêlant $x^n$ et $e^x$ .
Factoriser par le terme dominant $e^x$ , ou se ramener à une limite du Théorème 5 par changement de variable (Théorème 2).

Exemple : $e^x - x^3 = e^x\left(1 - \dfrac{x^3}{e^x}\right) \to +\infty$ car $\dfrac{x^3}{e^x} \to 0$ .

Méthode 6 — conclure par encadrement ou comparaison.

Encadrer ou minorer $f(x)$ à l’aide de bornes connues ( $-1 \leq \cos x \leq 1$ …).
Conclure par le Théorème 4 (limite finie) ou le Théorème 3 (limite infinie).

Exemple : $-\dfrac1x \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ , donc $\dfrac{\sin x}{x} \to 0$ en $+\infty$ ; $x + \cos x \geq x - 1 \to +\infty$ .

Méthode 7 — plan d’étude des limites d’une fonction.

Déterminer le domaine et repérer les bornes où chercher une limite (bornes infinies, valeurs interdites).
Identifier la forme : usuelle, opération directe ou forme indéterminée.
Lever l’indétermination (Méthodes 1 à 6).
Traduire graphiquement : asymptote horizontale (Définition 1) ou verticale (Définition 3).

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

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