Quiz — Limites de fonctions

Question 1 : Que vaut $\lim\limits_{x\to-\infty} (2x^3 - 5x^2 + 1)$ ?

• $+\infty$
• ✓ $-\infty$
• $1$
• $0$

Explication : **Méthode 1 (factoriser par le terme prépondérant)** : $2x^3 - 5x^2 + 1 = x^3\left(2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3}\right)$. D'après le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, la parenthèse tend vers 2, et $x^3 \to -\infty$ quand $x \to -\infty$ (exposant impair). Le produit tend donc vers $-\infty$ : option B. Automatisme : en $\pm\infty$, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré.

Question 2 : Que vaut $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{4x^2 - 3}{2x^2 + x}$ ?

• $0$
• $+\infty$
• ✓ $2$
• $-3$

Explication : Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. **Méthode 1 (factoriser par le terme prépondérant)** : $\dfrac{x^2(4 - 3/x^2)}{x^2(2 + 1/x)} = \dfrac{4 - 3/x^2}{2 + 1/x}$. D'après le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, cette expression tend vers $\dfrac{4}{2} = 2$ : option C. D'après la **Définition 1 (limite finie et asymptote horizontale)**, la droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

Question 3 : Soit $f(x) = \dfrac{3}{x - 2}$. Que vaut $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$ ?

• $+\infty$
• $0$
• $\frac{3}{2}$
• ✓ $-\infty$

Explication : **Méthode 4 (quotient dont le dénominateur tend vers 0)** : le numérateur 3 est positif et on étudie le signe de $x - 2$ au voisinage de 2. Pour $x < 2$, $x - 2 < 0$ et $x - 2 \to 0^-$, donc $\dfrac{3}{x-2} \to -\infty$ : option D. À droite de 2, la limite est $+\infty$. D'après la **Définition 3 (limite en un point et asymptote verticale)**, la droite $x = 2$ est asymptote verticale.

Question 4 : La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$. Quelles asymptotes lit-on ?

• ✓ $x = 0$ et $y = 1$
• $y = 0$ seulement
• $x = 1$ et $y = 0$
• $x = 0$ et $y = 0$

Explication : D'après la **Définition 3 (limite en un point et asymptote verticale)**, la courbe qui monte indéfiniment quand $x$ se rapproche de 0 traduit $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$ : asymptote verticale $x = 0$. D'après la **Définition 1 (limite finie et asymptote horizontale)**, la courbe qui se rapproche de la droite $y = 1$ quand $x \to +\infty$ traduit $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 1$ : asymptote horizontale $y = 1$. Option A ; ici $f(x) = 1 + \frac{1}{x}$.

Question 5 : Que vaut $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(x^2 - e^x\right)$ ?

• $+\infty$
• ✓ $-\infty$
• $0$
• Cette limite n'existe pas

Explication : Forme indéterminée $\infty - \infty$. **Méthode 5 (utiliser les croissances comparées)** : on factorise par le terme dominant $e^x$ : $x^2 - e^x = e^x\left(\frac{x^2}{e^x} - 1\right)$. D'après le **Théorème 5 (croissances comparées)**, $\frac{x^2}{e^x} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $-1$. Comme $e^x \to +\infty$, le **Théorème 1 (opérations sur les limites)** donne $\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2 - e^x) = -\infty$ : option B.

Question 6 : Que vaut $\lim\limits_{x\to-\infty} x\,e^{x}$ ?

• $-\infty$
• $+\infty$
• ✓ $0$
• $1$

Explication : Forme indéterminée $(-\infty) \times 0$. **Méthode 5 (utiliser les croissances comparées)** avec le changement de variable $X = -x \to +\infty$ (**Théorème 2, composition des limites**) : $x e^x = -X e^{-X} = -\dfrac{X}{e^X}$. D'après le **Théorème 5 (croissances comparées)**, $\dfrac{X}{e^X} \to 0$, donc $x e^x \to 0$ : option C. C'est la limite de référence $\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$.

Question 7 : Que vaut $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4} - \sqrt{x}\right)$ ?

• ✓ $0$
• $2$
• $+\infty$
• $4$

Explication : Forme indéterminée $\infty - \infty$ avec des racines : **Méthode 3 (quantité conjuguée)**. On multiplie et on divise par $\sqrt{x+4} + \sqrt{x}$ : $\sqrt{x+4} - \sqrt{x} = \dfrac{(x+4) - x}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}} = \dfrac{4}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc d'après le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, le quotient tend vers 0 : option A.

Question 8 : Pour tout $x > 0$, on sait que $2 - \dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq 2 + \dfrac{\cos x}{x}$. Que peut-on dire de $f$ en $+\infty$ ?

• $f$ n'a pas de limite car $\cos x$ n'en a pas
• ✓ $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2$ par le théorème des gendarmes
• $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$
• On ne peut rien conclure

Explication : **Méthode 6 (conclure par encadrement)** : $2 - \frac1x \to 2$ et, comme $-\frac1x \leq \frac{\cos x}{x} \leq \frac1x$, on a aussi $2 + \frac{\cos x}{x} \to 2$. Les deux bornes de l'encadrement ont la même limite 2 : d'après le **Théorème 4 (gendarmes)**, $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2$, option B. L'absence de limite de $\cos x$ n'empêche rien : c'est tout l'intérêt du théorème.

Question 9 : Que vaut $\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ ?

• $0$
• $+\infty$
• Cette limite n'existe pas
• ✓ $6$

Explication : Forme indéterminée $\frac{0}{0}$ : **Méthode 2 (simplifier une forme $\frac{0}{0}$)**. Pour $x \neq 3$ : $\dfrac{x^2-9}{x-3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$, qui tend vers 6 quand $x \to 3$ : option D. Il ne faut pas conclure trop vite à une asymptote verticale : le numérateur s'annule aussi en 3.

Question 10 : Question type bac. Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Quelles sont les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$ ?

• ✓ $+\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$
• $0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$
• $1$ en $0^+$ et $0$ en $+\infty$
• $+\infty$ en $0^+$ et $0$ en $+\infty$

Explication : En $0^+$, pas de forme indéterminée : $e^x \to 1$ et $\frac1x \to +\infty$, donc d'après le **Théorème 1 (opérations sur les limites)**, $f(x) \to +\infty$ ; d'après la **Définition 3 (asymptote verticale)**, la droite $x = 0$ est asymptote verticale. En $+\infty$, le **Théorème 5 (croissances comparées)** donne directement $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$. Option A : la courbe n'a pas d'asymptote horizontale.