Comment montrer que trois vecteurs de l'espace sont coplanaires ?

On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ (avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires). Avec des coordonnées, cela revient à résoudre un système de trois équations à deux inconnues : s'il a une solution, les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils forment une base.

Quelles sont les positions relatives possibles de deux droites de l'espace ?

Soit elles sont coplanaires (alors sécantes, strictement parallèles ou confondues), soit elles ne sont pas coplanaires : elles n'ont alors aucun point commun sans être parallèles.

Que signifie décomposer un vecteur dans une base ?

Si $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base (trois vecteurs non coplanaires), tout vecteur $\vec{u}$ s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ ; le triplet $(x, y, z)$ est celui de ses coordonnées.

Droites, plans et vecteurs de l'espace

Définitions

Définition 1 — vecteur de l’espace, translation. Un vecteur $\vec{u}$ non nul de l’espace est déterminé par une direction, un sens et une norme, comme dans le plan. À tout vecteur $\vec{u}$ est associée la translation de vecteur $\vec{u}$ , qui transforme $M$ en $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ .

Définition 2 — combinaison linéaire. Un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ ( $a$ , $b$ , $c$ réels) est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ .

Définition 3 — vecteurs colinéaires. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ ou $\vec{u} = k\vec{v}$ . Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Définition 4 — vecteurs coplanaires. Trois vecteurs sont coplanaires s’ils admettent des représentants situés dans un même plan.

Définition 5 — base et repère de l’espace. Trois vecteurs non coplanaires $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ forment une base de l’espace. Un repère $(O\,;\,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est la donnée d’un point $O$ et d’une base ; les coordonnées d’un point $M$ sont celles de $\overrightarrow{OM}$ .

Définition 6 — représentation paramétrique d’une droite. Dans un repère, une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ , de vecteur directeur $\vec{u}\,(a\,;\,b\,;\,c) \neq \vec{0}$ , est le système $d : \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (règles de calcul, relation de Chasles). Les règles du plan restent valables dans l’espace :

Propriété	Énoncé
Relation de Chasles	$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Parallélogramme	$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD$ parallélogramme (éventuellement aplati)
Produit par un réel	$k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ , $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$

Théorème 2 (caractérisation d’une droite). La droite $d$ passant par $A$ , de vecteur directeur $\vec{u} \neq \vec{0}$ , est caractérisée par : $M \in d \iff \text{il existe } t \in \mathbb{R},\ \overrightarrow{AM} = t\vec{u}.$ Un vecteur non nul engendre une direction de droite ; tous les vecteurs directeurs de $d$ sont colinéaires entre eux.

Théorème 3 (alignement et parallélisme). $A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Deux droites sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Théorème 4 (caractérisation d’un plan). Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ , dirigé par le couple $(\vec{u}, \vec{v})$ de vecteurs non colinéaires, est caractérisé par : $M \in \mathcal{P} \iff \text{il existe } a, b \in \mathbb{R},\ \overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}.$ Le couple $(\vec{u}, \vec{v})$ engendre la direction du plan ; deux plans sont parallèles $\iff$ ils ont la même direction.

Théorème 5 (caractérisation de la coplanarité). $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont coplanaires $\iff$ l’un d’eux est combinaison linéaire des deux autres (c’est le cas dès que deux d’entre eux sont colinéaires). Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires $\iff \overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

Théorème 6 (décomposition dans une base). Si $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base, tout vecteur $\vec{u}$ s’écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}, \qquad \text{noté } \vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z).$ Un repère réalise ainsi une bijection entre l’espace et $\mathbb{R}^3$ .

Théorème 7 (calculs en coordonnées). Dans un repère, les opérations se font coordonnée par coordonnée, et : $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A), \qquad I \text{ milieu de } [AB] : \left(\tfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\tfrac{y_A + y_B}{2}\,;\,\tfrac{z_A + z_B}{2}\right).$

Théorème 8 (positions relatives).

Objets	Positions possibles
Deux droites	coplanaires (sécantes, strictement parallèles, confondues) ou non coplanaires
Droite et plan	sécants en un point, ou parallèles (droite incluse ou strictement parallèle)
Deux plans	sécants selon une droite, ou parallèles (éventuellement confondus)

Une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle au plan dirigé par $(\vec{v}, \vec{w})$ $\iff \vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont coplanaires.

Théorème 9 (représentation paramétrique d’une droite). $M(x\,;\,y\,;\,z) \in d \iff$ il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$ , c’est-à-dire tel que le système de la Définition 6 soit vérifié. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques (autre point, vecteur directeur colinéaire). Dans une représentation donnée, les coefficients de $t$ forment un vecteur directeur et $t = 0$ fournit un point. Attention : dans l’espace, une seule équation cartésienne du premier degré décrit un plan, jamais une droite (voir le chapitre « Produit scalaire et applications »).

Une image à retenir. Un vecteur non nul engendre une direction de droite ; deux vecteurs non colinéaires engendrent une direction de plan ; trois vecteurs non coplanaires engendrent tout l’espace.

Méthodes

Méthode 1 — décomposer un vecteur sur une figure.

Relier l’origine et l’extrémité du vecteur par un chemin d’arêtes (relation de Chasles, Théorème 1).
Remplacer chaque arête par le vecteur égal de la base (faces parallèles du solide).
Regrouper les termes pour lire les coordonnées (Théorème 6).

Exemple : dans le cube, $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ .

Méthode 2 — démontrer une colinéarité, un alignement.

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (Théorème 7).
Chercher un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ (Définition 3).
Conclure avec le Théorème 3 (alignement ou parallélisme).

Exemple : $A(1\,;\,2\,;\,0)$ , $B(3\,;\,3\,;\,1)$ , $C(5\,;\,4\,;\,2)$ : $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ , points alignés.

Méthode 3 — démontrer une coplanarité (vecteurs ou quatre points).

Choisir $\vec{u}$ , $\vec{v}$ non colinéaires et chercher $a$ , $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ (pour quatre points : $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$ ).
Résoudre le système de trois équations à deux inconnues.
Système compatible : coplanaires (Théorème 5) ; incompatible : non coplanaires.

Exemple : $\vec{w}\,(2\,;\,-1\,;\,1) = 2\vec{u} - \vec{v}$ avec $\vec{u}\,(1\,;\,0\,;\,1)$ et $\vec{v}\,(0\,;\,1\,;\,1)$ : coplanaires.

Méthode 4 — décider si trois vecteurs forment une base.

Vérifier si deux des vecteurs sont colinéaires (si oui, ce n’est pas une base).
Chercher si l’un est combinaison linéaire des deux autres (Méthode 3), ou montrer que $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}$ impose $a = b = c = 0$ .
Non coplanaires $\iff$ base (Définition 5, Théorème 6).

Exemple : $(1\,;\,2\,;\,3)$ , $(0\,;\,1\,;\,0)$ , $(2\,;\,4\,;\,6)$ : le troisième est le double du premier, pas une base.

Méthode 5 — calculer avec des coordonnées dans un repère adapté.

Choisir un repère lié à la figure (dans le cube : $(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ ).
Lire les coordonnées des points utiles.
Appliquer les formules du Théorème 7 (vecteur, milieu, opérations).

Exemple : milieu de $[EG]$ avec $E(0\,;\,0\,;\,1)$ et $G(1\,;\,1\,;\,1)$ : $\left(\tfrac12\,;\,\tfrac12\,;\,1\right)$ .

Méthode 6 — étudier la position relative d’une droite et d’un plan.

Tester si le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite est combinaison linéaire des vecteurs directeurs $(\vec{v}, \vec{w})$ du plan (Méthode 3).
Si non : droite et plan sécants en un point (Théorème 8).
Si oui, la droite est parallèle au plan : tester un point de la droite — dans le plan, droite incluse ; sinon, strictement parallèle.

Exemple : $\vec{u} = \vec{v} - \vec{w}$ et $A \notin \mathcal{P}$ : droite strictement parallèle au plan.

Méthode 7 — déterminer une représentation paramétrique d’une droite.

Repérer un point $A$ de la droite (pour $(AB)$ : le point $A$ ) et un vecteur directeur $\vec{u}$ (pour $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}$ ).
Écrire $x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ , $t \in \mathbb{R}$ (Théorème 9).

Exemple : $A(1\,;\,-2\,;\,3)$ , $\vec{u}\,(2\,;\,0\,;\,-1)$ : $x = 1 + 2t$ , $y = -2$ , $z = 3 - t$ .

Méthode 8 — reconnaître une droite paramétrée, tester l’appartenance d’un point.

Lire un point ( $t = 0$ ) et un vecteur directeur (coefficients de $t$ ).
Pour tester $M$ : résoudre en $t$ sur une coordonnée, puis vérifier que la même valeur convient pour les deux autres.
Pour comparer deux droites paramétrées : comparer les vecteurs directeurs (colinéaires ou non), puis tester un point — et toujours utiliser deux noms de paramètres distincts pour chercher une intersection.

Exemple : $x = 2 - 3t$ , $y = t$ , $z = 4$ : point $(2\,;\,0\,;\,4)$ , vecteur directeur $(-3\,;\,1\,;\,0)$ .

À retenir contre les pièges. Deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles (elles peuvent être non coplanaires). Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles entre elles. La relation de Chasles, toujours vraie, ne démontre jamais un alignement.

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