Quiz — Droites, plans et vecteurs de l'espace

Question 1 : Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-contre, quelle est la décomposition de $\overrightarrow{AG}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ ?

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
• $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$
• ✓ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$
• $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$

Explication : **Méthode 1 (décomposer un vecteur sur une figure)** : on va de $A$ à $G$ par un chemin d'arêtes grâce à la relation de Chasles (**Théorème 1**) : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$. Dans le cube, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$ (arêtes parallèles de même sens). D'où $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$, c'est-à-dire des coordonnées $(1\,;\,1\,;\,1)$ dans la base (**Théorème 6**). C'est l'option C.

Question 2 : Quelle est une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1\,;\,-2\,;\,3)$ de vecteur directeur $\vec{u}\,(2\,;\,0\,;\,-1)$ ?

• $x = 2 + t,\ y = -2t,\ z = -1 + 3t$
• ✓ $x = 1 + 2t,\ y = -2,\ z = 3 - t$
• $x = 1 + 2t,\ y = -2 + t,\ z = 3 - t$
• $2x - z = 0$

Explication : **Méthode 7 (déterminer une représentation paramétrique)** : d'après le **Théorème 9 (représentation paramétrique d'une droite)**, on part des coordonnées de $A$ et on ajoute $t$ fois celles de $\vec{u}$ : $x = 1 + 2t$, $y = -2 + 0 \times t = -2$, $z = 3 - t$. L'ordonnée reste constante car la deuxième coordonnée de $\vec{u}$ est nulle. La première option inverse point et vecteur directeur. C'est l'option B.

Question 3 : Soient $\vec{u}\,(1\,;\,0\,;\,1)$, $\vec{v}\,(0\,;\,1\,;\,1)$ et $\vec{w}\,(2\,;\,-1\,;\,1)$. Que peut-on dire ?

• Ils forment une base de l'espace
• ✓ Ils sont coplanaires car $\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}$
• Ils sont coplanaires car $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires

Explication : **Méthode 3 (démontrer une coplanarité)** : on cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, soit le système $a = 2$, $b = -1$, $a + b = 1$, qui est compatible. Vérification : $2\vec{u} - \vec{v} = (2\,;\,0\,;\,2) - (0\,;\,1\,;\,1) = (2\,;\,-1\,;\,1) = \vec{w}$. D'après le **Théorème 5**, $\vec{w}$ étant combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, les trois vecteurs sont coplanaires : ils ne forment donc pas une base (**Définition 5**). C'est l'option B.

Question 4 : Dans le cube $ABCDEFGH$, quelle est la position relative des droites $(AE)$ et $(HG)$ ?

• Sécantes
• Parallèles
• Confondues
• ✓ Non coplanaires

Explication : On applique le **Théorème 8 (positions relatives)**. Les droites ne sont pas parallèles : $\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AB}$ n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{AE}$ (**Théorème 3**). Elles ne sont pas non plus sécantes : d'après le **Théorème 5**, les vecteurs $\overrightarrow{AE}\,(0\,;\,0\,;\,1)$, $\overrightarrow{AH}\,(0\,;\,1\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AG}\,(1\,;\,1\,;\,1)$ ne sont pas coplanaires (aucune combinaison linéaire des deux premiers n'a d'abscisse non nulle), donc les points $A$, $E$, $H$, $G$ ne sont pas dans un même plan. Les droites sont non coplanaires. C'est l'option D.

Question 5 : Soient $A(1\,;\,2\,;\,0)$, $B(3\,;\,3\,;\,1)$ et $C(5\,;\,4\,;\,2)$. Les points sont-ils alignés ?

• ✓ Oui, car $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$
• Non, car $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BC}$
• Non, car les trois abscisses sont différentes
• Oui, car $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Explication : **Méthode 2 (démontrer un alignement)** : on calcule $\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,1\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(4\,;\,2\,;\,2)$ avec le **Théorème 7**, puis on constate $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc d'après le **Théorème 3** les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. Attention : la relation de Chasles (**Théorème 1**) est toujours vraie, elle ne prouve jamais un alignement. C'est l'option A.

Question 6 : Parmi ces triplets de vecteurs, lequel ne forme pas une base de l'espace ?

• $(1\,;\,0\,;\,0)$, $(0\,;\,1\,;\,0)$, $(1\,;\,1\,;\,1)$
• $(1\,;\,1\,;\,0)$, $(0\,;\,1\,;\,1)$, $(1\,;\,0\,;\,1)$
• ✓ $(1\,;\,2\,;\,3)$, $(0\,;\,1\,;\,0)$, $(2\,;\,4\,;\,6)$
• $(1\,;\,0\,;\,0)$, $(1\,;\,1\,;\,0)$, $(1\,;\,1\,;\,1)$

Explication : **Méthode 4 (décider si trois vecteurs forment une base)** : dans le troisième triplet, $(2\,;\,4\,;\,6) = 2 \times (1\,;\,2\,;\,3)$ : deux vecteurs sont colinéaires (**Définition 3**), donc d'après le **Théorème 5** les trois vecteurs sont coplanaires et ne forment pas une base (**Définition 5**). Dans les trois autres triplets, aucun vecteur n'est combinaison linéaire des deux autres : ce sont des bases. C'est l'option C.

Question 7 : Dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ du cube, quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[EG]$ ?

• $(1\,;\,1\,;\,\tfrac12)$
• ✓ $(\tfrac12\,;\,\tfrac12\,;\,1)$
• $(\tfrac12\,;\,\tfrac12\,;\,\tfrac12)$
• $(1\,;\,\tfrac12\,;\,1)$

Explication : **Méthode 5 (calculer avec des coordonnées)** : dans ce repère, on lit $E(0\,;\,0\,;\,1)$ et $G(1\,;\,1\,;\,1)$. La formule du milieu du **Théorème 7** donne $I\left(\tfrac{0+1}{2}\,;\,\tfrac{0+1}{2}\,;\,\tfrac{1+1}{2}\right) = \left(\tfrac12\,;\,\tfrac12\,;\,1\right)$ : c'est le centre de la face supérieure $EFGH$. C'est l'option B.

Question 8 : Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $O$ dirigé par $\vec{v}\,(1\,;\,0\,;\,0)$ et $\vec{w}\,(0\,;\,1\,;\,0)$, et $d$ la droite passant par $A(1\,;\,1\,;\,1)$ de vecteur directeur $\vec{u}\,(1\,;\,-1\,;\,0)$. Position relative de $d$ et $\mathcal{P}$ ?

• $d$ est incluse dans $\mathcal{P}$
• $d$ coupe $\mathcal{P}$ en un point
• $d$ est orthogonale à $\mathcal{P}$
• ✓ $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$

Explication : **Méthode 6 (position relative d'une droite et d'un plan)** : $\vec{u} = \vec{v} - \vec{w}$ est combinaison linéaire des vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$, donc $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires (**Théorème 5**) et, d'après le **Théorème 8**, la droite $d$ est parallèle au plan. On teste ensuite le point : tout point de $\mathcal{P}$, qui passe par $O$ et est dirigé par $\vec{v}$ et $\vec{w}$, a une cote nulle (**Théorème 4**), or $A$ a pour cote $1 \neq 0$, donc $A \notin \mathcal{P}$ : la droite est strictement parallèle au plan. C'est l'option D.

Question 9 : La droite $d$ a pour représentation paramétrique $x = 1 + 2t$, $y = -2$, $z = 3 - t$. Le point $M(5\,;\,-2\,;\,1)$ appartient-il à $d$ ?

• ✓ Oui, avec $t = 2$
• Non, car $y$ devrait valoir $2$
• Oui, avec $t = -2$
• Non, car aucune valeur de $t$ ne convient pour $z$

Explication : **Méthode 8 (reconnaître et exploiter une représentation paramétrique)** : on détermine $t$ avec la première coordonnée, $1 + 2t = 5$ donne $t = 2$, puis on vérifie les deux autres : $y = -2$ ✓ et $z = 3 - 2 = 1$ ✓. La même valeur $t = 2$ convient pour les trois coordonnées : d'après le **Théorème 9 (représentation paramétrique d'une droite)**, $M \in d$. C'est l'option A.

Question 10 : Dans l'espace, deux droites qui n'ont aucun point commun sont…

• toujours parallèles
• ✓ parallèles ou non coplanaires
• toujours non coplanaires
• nécessairement orthogonales

Explication : D'après le **Théorème 8 (positions relatives)**, deux droites de l'espace sont soit coplanaires (sécantes, strictement parallèles ou confondues), soit non coplanaires. Sans point commun, il reste donc deux possibilités : strictement parallèles ou non coplanaires — contrairement au plan, où elles seraient forcément parallèles. Exemple dans le cube : $(AE)$ et $(HG)$ n'ont aucun point commun sans être parallèles. C'est l'option B.