Comment dériver une fonction composée $v \circ u$ ?

On dérive la fonction « extérieure » $v$ en $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de la fonction « intérieure » $u$ : $(v \circ u)'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)$. Exemples : $(e^{u})' = u' e^{u}$, $(u^n)' = n u' u^{n-1}$, $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt u}$, $(\cos u)' = -u' \sin u$.

À quoi sert la dérivée seconde ?

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de $f'$. Son signe indique le sens de variation de $f'$ et donc la convexité de $f$ : si $f'' \geq 0$ sur un intervalle, $f$ y est convexe ; si $f'' \leq 0$, $f$ y est concave. Un changement de signe de $f''$ signale un point d'inflexion.

Quelles sont les étapes d'une étude de fonction en terminale ?

Ensemble de définition, limites aux bornes (asymptotes), calcul de $f'$ et étude de son signe, tableau de variations avec les valeurs aux extremums, éventuellement $f''$ pour la convexité, puis tracé de la courbe et tangentes remarquables.

Dérivation — BgMaths

Définitions

(Définitions 1-2 : dérivation ; Définitions 3-4 : convexité, section 2.7.)

Définition 1 — composée de deux fonctions. Soient $u$ définie sur $I$ à valeurs dans $J$ , et $v$ définie sur $J$ . La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction $v \circ u : x \mapsto v\big(u(x)\big)$ . L’ordre compte : avec $u(x) = x^2 + 1$ et $v(X) = \sqrt X$ , $(v \circ u)(x) = \sqrt{x^2+1}$ mais $(u \circ v)(x) = x + 1$ (pour $x \geq 0$ ).

Définition 2 — dérivée seconde. Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde de $f$ , notée $f'' = (f')'$ . Exemple : $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ : $f'(x) = 3x^2 - 12x$ et $f''(x) = 6x - 12$ .

Définition 3 — fonction convexe, fonction concave. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , de courbe $\mathcal C$ . $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ , la portion de $\mathcal C$ entre les points $A(a\,;f(a))$ et $B(b\,;f(b))$ est en dessous du segment $[AB]$ (la sécante) ; elle est concave si cette portion de courbe est au-dessus de chaque sécante. Une fonction affine est à la fois convexe et concave. Conséquence : si $f$ est convexe, $f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$ .

Définition 4 — point d’inflexion. Un point d’inflexion est un point de la courbe où celle-ci traverse sa tangente : $f$ y passe de convexe à concave, ou l’inverse.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (dérivées de référence et opérations) (rappels de première).

$f(x)$	$f'(x)$	Opération	Dérivée
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$nx^{n-1}$	$u + v$	$u' + v'$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$ku$	$ku'$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$uv$	$u'v + uv'$
$e^x$	$e^x$	$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$\cos x$ , $\sin x$	$-\sin x$ , $\cos x$	$f(ax+b)$	$a f'(ax+b)$

Théorème 2 (équation de la tangente). La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Théorème 3 (dérivée d’une composée). Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur $J \supset u(I)$ , alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u' \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad (v \circ u)'(x) = v'\big(u(x)\big) \times u'(x)$

Cas particulier : $(f(ax+b))' = a f'(ax+b)$ , par exemple $\left(e^{ax+b}\right)' = a e^{ax+b}$ .

Théorème 4 (composées usuelles).

$f$	$f'$	Exemple
$e^{u}$	$u' e^{u}$	$\left(e^{-x^2}\right)' = -2x\,e^{-x^2}$
$u^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n\,u'\,u^{n-1}$	$\left((2x^2-1)^5\right)' = 20x(2x^2-1)^4$
$\sqrt{u}$ ( $u > 0$ )	$\dfrac{u'}{2\sqrt u}$	$\left(\sqrt{x^2+1}\right)' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
$\dfrac{1}{u}$ ( $u \neq 0$ )	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$\left(\dfrac{1}{x^2+3}\right)' = -\dfrac{2x}{(x^2+3)^2}$
$\cos u$ , $\sin u$	$-u'\sin u$ , $u'\cos u$	$(\sin(3x))' = 3\cos(3x)$

(Le logarithme est traité dans le chapitre dédié : $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ pour $u > 0$ .) Erreur classique : oublier le facteur $u'$ — la dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$ , pas $e^{3x}$ .

Théorème 5 (signe de la dérivée et variations). Si $f' \geq 0$ sur $I$ , $f$ est croissante sur $I$ ; si $f' > 0$ sauf en des points isolés, $f$ est strictement croissante (de même en décroissance). Un extremum local en $a$ (fonction dérivable) impose $f'(a) = 0$ , mais $f'(a) = 0$ ne suffit pas : il faut un changement de signe de $f'$ ( $x \mapsto x^3$ en 0 n’a pas d’extremum).

Théorème 6 (dérivée seconde et convexité). $f'' \geq 0$ sur $I$ $\iff$ $f'$ croissante sur $I$ $\iff$ $f$ convexe sur $I$ (courbe au-dessus de ses tangentes) ; $f'' \leq 0$ : $f$ concave. Un changement de signe de $f''$ signale un point d’inflexion (Théorèmes 7 et 8 ci-dessous).

Théorème 7 (caractérisations de la convexité) (admis ; démonstration exigible : « si $f'' \geq 0$ , la courbe est au-dessus de ses tangentes »). Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f'(a)(x - a) + f(a)$ pour tous $x, a \in I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
$f'' \geq 0$ sur $I$ .

De même : $f$ concave $\iff$ courbe en dessous des tangentes $\iff$ $f'$ décroissante $\iff$ $f'' \leq 0$ .

Théorème 8 (caractérisation du point d’inflexion). Pour $f$ deux fois dérivable, $A(a\,;f(a))$ est un point d’inflexion $\iff$ $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ . Piège : $f''(a) = 0$ ne suffit pas — pour $g(x) = x^4$ , $g''(x) = 12x^2$ s’annule en 0 sans changer de signe : pas d’inflexion.

Théorème 9 (fonctions de référence convexes et concaves).

Convexes	Concaves
$x \mapsto x^2$ , $x \mapsto x^{2n}$ , $\exp$ sur $\mathbb{R}$	$x \mapsto \sqrt x$ sur $[0\,;+\infty[$ , $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$

Méthodes

Méthode 1 — dériver une composée.

Identifier la fonction intérieure $u$ et la fonction extérieure $v$ .
Appliquer le Théorème 3 (ou directement une ligne du Théorème 4) : dériver l’extérieur en $u(x)$ , multiplier par $u'(x)$ .

Exemple : $\left(e^{-x^2}\right)' = -2x\,e^{-x^2}$ avec $u = -x^2$ , $u' = -2x$ .

Méthode 2 — étudier le signe d’une dérivée contenant une exponentielle.

Mettre $f'$ sous forme factorisée, en regroupant le facteur exponentiel.
Comme $e^{u} > 0$ , le signe de $f'$ est celui du facteur restant (souvent affine ou polynomial).

Exemple : $f(x) = x e^{-x}$ : $f'(x) = (1 - x)e^{-x}$ a le signe de $1 - x$ .

Méthode 3 — étudier les variations d’une fonction.

Préciser l’ensemble de définition et de dérivabilité.
Calculer les limites aux bornes (asymptotes éventuelles).
Calculer $f'$ , la mettre sous forme factorisée (Méthode 2) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations avec les valeurs des extremums (Théorème 5) ; éventuellement $f''$ pour la convexité (Théorème 6).

Exemple : $f(x) = x e^{-x}$ : $f(x) \to -\infty$ en $-\infty$ , $f(x) \to 0$ en $+\infty$ (croissances comparées) ; $f'(x) = (1-x)e^{-x}$ : croissante sur $]-\infty\,;1]$ , décroissante ensuite, maximum $f(1) = e^{-1}$ ; $f''(x) = (x-2)e^{-x}$ : point d’inflexion en $(2\,;2e^{-2})$ .

Méthode 4 — lire ou esquisser une courbe à partir des tableaux de $f$ , $f'$ ou $f''$ .

Signe de $f'$ $\to$ sens de variation ; $f'(a) = 0$ avec changement de signe $\to$ extremum et tangente horizontale (Théorème 5).
Valeur de $f'(a)$ $\to$ pente de la tangente au point d’abscisse $a$ (Théorème 2).
Signe de $f''$ $\to$ convexité/concavité ; changement de signe $\to$ point d’inflexion (Théorème 6).
Limites $\to$ asymptotes horizontales ou verticales.

Exemple : $f' < 0$ sur $]-\infty\,;0[$ , $f' > 0$ sur $]0\,;+\infty[$ et $f'' > 0$ partout : courbe en « bol » avec un minimum en 0, comme $x \mapsto x^2$ .

Méthode 5 — étudier la convexité et les points d’inflexion avec la dérivée seconde.

Calculer $f''(x)$ et la mettre sous forme factorisée.
Dresser le tableau de signes de $f''$ ; en déduire les intervalles de convexité ( $f'' \geq 0$ ) et de concavité ( $f'' \leq 0$ ) (Théorème 7).
Les abscisses où $f''$ change de signe donnent les points d’inflexion (Théorème 8) ; calculer leurs ordonnées.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$ : $f''(x) = 6(x - 1)$ , concave sur $]-\infty\,;1]$ , convexe sur $[1\,;+\infty[$ , inflexion en $(1\,;1)$ .

Méthode 6 — lire la convexité sur la courbe de $f$ , de $f'$ ou de $f''$ .

On dispose de la courbe de…	$f$ convexe là où…	Point d’inflexion là où…
$f$	la courbe est en « bol », au-dessus de ses tangentes	la courbe traverse sa tangente
$f'$	$f'$ est croissante	$f'$ admet un extremum local
$f''$	$f''$ est positive (au-dessus de l’axe)	$f''$ coupe l’axe en changeant de signe

Ne pas confondre : le signe de $f'$ donne les variations de $f$ ; les variations de $f'$ (ou le signe de $f''$ ) donnent la convexité de $f$ .

Méthode 7 — démontrer une inégalité par convexité.

Identifier une fonction convexe ou concave (Théorème 9, ou signe de $f''$ via la Méthode 5).
Écrire l’équation de la tangente au point bien choisi : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ (Théorème 2).
Conclure avec le Théorème 7 : courbe au-dessus de la tangente (convexe) ou en dessous (concave).

Exemple : $\exp'' = \exp > 0$ donc $\exp$ est convexe ; sa tangente en 0 est $y = x + 1$ , d’où $e^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ . De même $\ln x \leq x - 1$ (tangente en 1 de $\ln$ , concave).

Méthode 8 — traduire la convexité dans un problème concret.

« Augmente de plus en plus vite » = croissante et convexe ( $f'$ croissante) ; « augmente de moins en moins vite » = croissante et concave.
Le point d’inflexion correspond au moment où la vitesse d’évolution est maximale ou minimale.
Étudier $f''$ (Méthode 5) pour localiser ce changement de régime.

Exemple : propagation d’une rumeur $N(t) = \dfrac{1000}{1 + 99e^{-0{,}5t}}$ : courbe convexe puis concave ; le point d’inflexion ( $t \approx 9{,}2$ jours, $N = 500$ ) est le moment où la rumeur se propage le plus vite.

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

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