Quiz — Dérivation

Question 1 : Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{x^2 - 3x}$ ?

• $f'(x) = e^{2x - 3}$
• ✓ $f'(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$
• $f'(x) = (x^2 - 3x)e^{x^2 - 3x}$
• $f'(x) = e^{x^2 - 3x}$

Explication : **Méthode 1 (dériver une composée)** : on identifie la fonction intérieure $u(x) = x^2 - 3x$, de dérivée $u'(x) = 2x - 3$. D'après le **Théorème 4 (composées usuelles)**, $(e^u)' = u'e^u$, donc $f'(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$ : option B. Ne pas oublier le facteur $u'$.

Question 2 : Quelle est la dérivée de $g(x) = (3x^2 + 1)^4$ ?

• $g'(x) = 4(3x^2 + 1)^3$
• $g'(x) = 4(6x)^3$
• ✓ $g'(x) = 24x(3x^2 + 1)^3$
• $g'(x) = (6x)^4$

Explication : **Méthode 1 (dériver une composée)** avec le **Théorème 4 (composées usuelles)** : $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ où $u = 3x^2 + 1$, $u' = 6x$ et $n = 4$. Donc $g'(x) = 4 \times 6x \times (3x^2+1)^3 = 24x(3x^2 + 1)^3$ : option C. Oublier le facteur $u' = 6x$ (option A) est l'erreur classique.

Question 3 : Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?

• $]-\infty\,;1]$
• ✓ $[1\,;+\infty[$
• $\mathbb{R}$
• $[0\,;2]$

Explication : **Méthode 5 (étudier la convexité avec la dérivée seconde)** : $f'(x) = 3x^2 - 6x + 1$ puis $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$. D'après le **Théorème 7 (caractérisations de la convexité)**, $f$ est convexe là où $f'' \geq 0$, c'est-à-dire pour $x \geq 1$ : $f$ est convexe sur $[1\,;+\infty[$, option B, et concave sur $]-\infty\,;1]$, avec un point d'inflexion en $(1\,;1)$ (**Théorème 8**).

Question 4 : Soit $f(x) = (2x + 1)e^{-x}$. Quelle est l'expression factorisée de $f'(x)$ ?

• $f'(x) = 2e^{-x}$
• $f'(x) = (2x + 3)e^{-x}$
• $f'(x) = -(2x+1)e^{-x}$
• ✓ $f'(x) = (1 - 2x)e^{-x}$

Explication : D'après le **Théorème 1 (dérivées de référence et opérations)**, $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = 2x+1$, $u' = 2$, $v = e^{-x}$, $v' = -e^{-x}$ : $f'(x) = 2e^{-x} - (2x+1)e^{-x}$. **Méthode 2 (factoriser par l'exponentielle)** : $f'(x) = (2 - 2x - 1)e^{-x} = (1 - 2x)e^{-x}$ : option D.

Question 5 : Avec $f(x) = (2x+1)e^{-x}$ et $f'(x) = (1-2x)e^{-x}$, quel est le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

• Croissante sur $\mathbb{R}$
• ✓ Croissante sur $]-\infty\,;\frac12]$, décroissante sur $[\frac12\,;+\infty[$
• Décroissante sur $]-\infty\,;\frac12]$, croissante sur $[\frac12\,;+\infty[$
• Décroissante sur $\mathbb{R}$

Explication : **Méthode 2 (factoriser par l'exponentielle)** : comme $e^{-x} > 0$, $f'(x)$ a le signe de $1 - 2x$, positif pour $x < \frac12$ et négatif pour $x > \frac12$. D'après le **Théorème 5 (signe de la dérivée et variations)**, $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\frac12]$ puis décroissante sur $[\frac12\,;+\infty[$ : option B, avec un maximum $f\left(\frac12\right) = 2e^{-1/2} \approx 1{,}21$.

Question 6 : La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$. Quelle inégalité en découle en utilisant la tangente au point d'abscisse 0 ?

• $e^x \leq x + 1$ pour tout $x$
• $e^x \geq x$ pour tout $x$ seulement
• $e^x \geq e x$ pour tout $x$
• ✓ $e^x \geq x + 1$ pour tout $x$

Explication : **Méthode 7 (démontrer une inégalité par convexité)** : la tangente en 0 a pour équation $y = \exp'(0)(x - 0) + e^0 = x + 1$ (**Théorème 2**). D'après le **Théorème 7 (caractérisations de la convexité)**, la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes, donc $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$ : option D. L'inégalité $e^x \geq ex$ est vraie aussi, mais elle provient de la tangente en 1.

Question 7 : Le graphique représente la courbe d'une fonction $f'$ (dérivée de $f$). Que peut-on dire de $f$ ?

• ✓ $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$
• $f$ admet un maximum en $x = 1$
• $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
• $f$ s'annule en $x = 1$

Explication : **Méthode 4 (lire une courbe à partir de $f'$)** : d'après le **Théorème 5 (signe de la dérivée et variations)**, c'est le **signe** de $f'$ qui donne les variations de $f$. La courbe de $f'$ est sous l'axe pour $x < 1$ ($f' < 0$ : $f$ décroissante) et au-dessus pour $x > 1$ ($f' > 0$ : $f$ croissante) : option A, avec un minimum en $x = 1$. Attention : c'est $f'$ qui s'annule en 1, pas $f$, et c'est un minimum, pas un maximum.

Question 8 : Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?

• $f'(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$
• $f'(x) = \dfrac{(1 - x)e^x}{x^2}$
• $f'(x) = e^x$
• ✓ $f'(x) = \dfrac{(x - 1)e^x}{x^2}$

Explication : D'après le **Théorème 1 (dérivées de référence et opérations)**, $\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u = e^x$ et $v = x$ : $f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$ : option D. D'après le **Théorème 5 (signe de la dérivée et variations)**, comme $f'$ a le signe de $x - 1$, $f$ est décroissante sur $]0\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$, avec un minimum $f(1) = e$.

Question 9 : Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = e^{2x}$ au point d'abscisse 0 ?

• $y = x + 1$
• $y = 2x$
• ✓ $y = 2x + 1$
• $y = e^{2x}$

Explication : D'après le **Théorème 4 (composées usuelles)**, $f'(x) = 2e^{2x}$, donc $f'(0) = 2$ et $f(0) = 1$. D'après le **Théorème 2 (équation de la tangente)**, la tangente en 0 est $y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2x + 1$ : option C.

Question 10 : Question type bac. Le tableau de variations de $f$ indique : $f$ décroissante de $+\infty$ à $-2$ sur $]-\infty\,;0]$, croissante de $-2$ à $+\infty$ sur $[0\,;+\infty[$, avec $f'(0) = 0$. Le tableau de $f''$ indique $f'' < 0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et $]1\,;+\infty[$, $f'' > 0$ sur $]-1\,;1[$. Quelle allure de courbe est compatible ?

• Une courbe convexe partout avec un minimum en 0
• ✓ Une courbe avec un minimum en $(0\,;-2)$, tangente horizontale en ce point, convexe entre $-1$ et $1$ et concave à l'extérieur, avec deux points d'inflexion en $x = -1$ et $x = 1$
• Une courbe avec un maximum en $(0\,;-2)$ et deux points d'inflexion
• Une courbe croissante sur $\mathbb{R}$ avec un point d'inflexion en 0

Explication : **Méthode 4 (esquisser une courbe à partir des tableaux)** : d'après le **Théorème 5 (signe de la dérivée et variations)**, les variations donnent un minimum $-2$ en $x = 0$, avec tangente horizontale car $f'(0) = 0$. D'après le **Théorème 6 (dérivée seconde et convexité)**, $f'' > 0$ sur $]-1\,;1[$ donne la convexité sur cet intervalle et la concavité à l'extérieur, avec deux points d'inflexion là où $f''$ change de signe, en $x = -1$ et $x = 1$ : option B.