Quelle différence entre le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire pour les fonctions strictement monotones ?

Le TVI (fonction continue sur $[a\,;b]$) garantit l'existence d'au moins une solution à $f(x) = k$ pour $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$. Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique. Pour prouver l'unicité, la stricte monotonie est indispensable.

Comment rédiger l'existence et l'unicité d'une solution de $f(x) = k$ ?

On cite trois hypothèses : $f$ est continue sur $[a\,;b]$ (par exemple car dérivable), $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$ (tableau de variations), et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$. On encadre ensuite cette solution à la calculatrice ou par dichotomie.

À quoi sert la continuité pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n) \to f(\ell)$. Comme $f(u_n) = u_{n+1} \to \ell$, on obtient $f(\ell) = \ell$ : la limite est un point fixe de $f$. Sans continuité, on ne peut pas passer à la limite dans la relation de récurrence.

Continuité d'une fonction

Définitions

Définition 1 — continuité en un point, sur un intervalle. Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Elle est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ . Graphiquement, la courbe de $f$ se trace sans lever le crayon.

Ici $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) = 0 \neq f(0) = 1$ : $f$ n’est pas continue en 0.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (dérivable implique continue). Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en 0 mais n’y est pas dérivable.

Conséquence : polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continus sur $\mathbb{R}$ ; la racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ ; sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continus. En terminale, on justifie souvent la continuité par : « $f$ est dérivable, donc continue ».

Théorème 2 (image d’une suite convergente). Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $\lim\limits_{n\to+\infty} f(u_n) = f(\ell)$ . Conséquence (point fixe) : si $u_{n+1} = f(u_n)$ , si $f$ est continue et si $(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors $\ell = f(\ell)$ .

Théorème 3 (valeurs intermédiaires). Soit $f$ continue sur $[a\,;b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$ .

Théorème 4 (corollaire du TVI, fonctions strictement monotones). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$ . Le résultat s’étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant $f(a)$ , $f(b)$ par les limites aux bornes.

Méthodes

Méthode 1 — étudier la continuité en un point (raccordement).

Calculer la limite à gauche et la limite à droite de $f$ en $a$ .
Comparer à $f(a)$ : $f$ est continue en $a$ si les trois valeurs coïncident (Définition 1) ; en présence d’un paramètre, écrire l’égalité et le déterminer.

Exemple : $f(x) = x^2 + 1$ si $x < 1$ , $f(x) = 3x - m$ si $x \geq 1$ : continuité en 1 $\iff$ $2 = 3 - m$ $\iff$ $m = 1$ .

Méthode 2 — montrer que $f(x) = k$ admet une unique solution, puis l’encadrer.

Justifier la continuité de $f$ sur l’intervalle (souvent : dérivable, donc continue — Théorème 1).
Justifier la stricte monotonie (signe de $f'$ , tableau de variations).
Vérifier que $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes, et conclure avec le Théorème 4.
Encadrer la solution par balayage à la calculatrice ou par dichotomie (Méthode 5).

Exemple : $f(x) = x^3 + x - 3$ : continue, strictement croissante ( $f' = 3x^2 + 1 > 0$ ), limites $-\infty$ et $+\infty$ : unique solution $\alpha$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 7$ donne $1 < \alpha < 2$ , puis $1{,}21 < \alpha < 1{,}22$ .

Méthode 3 — compter les solutions de $f(x) = k$ avec un tableau de variations.

Découper le domaine en intervalles de stricte monotonie.
Sur chaque intervalle, appliquer le Théorème 4 : il y a une solution si et seulement si $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.
Additionner le nombre de solutions trouvées, en signalant les intervalles sans solution.

Exemple : $f$ croît de $-\infty$ à 3, décroît de 3 à $-1$ , puis croît de $-1$ à $+\infty$ : l’équation $f(x) = 0$ a $1 + 1 + 1 = 3$ solutions.

Méthode 4 — déterminer la limite d’une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Établir la convergence (voir le cours sur les suites : récurrence puis suite monotone bornée), ou l’admettre si l’énoncé la donne.
Justifier la continuité de $f$ et passer à la limite : $\ell = f(\ell)$ (Théorème 2).
Résoudre $f(x) = x$ et éliminer les solutions incompatibles (signe, intervalle).

Exemple : $u_0 = 0$ , $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ : croissante et majorée par 3, donc convergente ; $\ell = \sqrt{2\ell + 3}$ donne $\ell = 3$ (on exclut $-1 < 0$ ).

Méthode 5 — encadrer une solution par dichotomie.

Partir de $[a\,;b]$ avec $f$ continue et $f(a)$ , $f(b)$ de signes contraires ; calculer $m = \dfrac{a+b}{2}$ .
Garder la moitié où $f$ change de signe : si $f(a) f(m) \leq 0$ , remplacer $b$ par $m$ , sinon remplacer $a$ par $m$ .
Recommencer jusqu’à la précision voulue : après $n$ étapes, la longueur de l’intervalle est $\dfrac{b-a}{2^n}$ .

def dichotomie(f, a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

print(dichotomie(lambda x: x**3 - 2, 1, 2, 0.001))  # (1.2607..., 1.2617...)

Variantes au programme (exemples d’algorithmes) : méthode de Newton $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ (pour $f(x) = x^2 - 2$ , on retrouve la méthode de Héron), méthode de la sécante.

Définitions

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