Quiz — Continuité d'une fonction

Question 1 : Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$ si $x < 1$ et $f(x) = 3x - m$ si $x \geq 1$. Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue en 1 ?

• $m = 3$
• ✓ $m = 1$
• $m = 2$
• $m = -1$

Explication : **Méthode 1 (étudier la continuité en un point)** : d'après la **Définition 1 (continuité en un point)**, il faut $\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$. À gauche : $\lim_{x\to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$. À droite : $f(1) = 3 \times 1 - m = 3 - m$, qui est aussi la limite à droite. La continuité en 1 exige donc $3 - m = 2$, soit $m = 1$ : option B.

Question 2 : Parmi ces affirmations, laquelle est vraie ?

• Toute fonction continue sur un intervalle y est dérivable
• Une fonction continue sur $[a\,;b]$ est strictement monotone
• ✓ Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue
• Une fonction continue en $a$ n'a pas de limite en $a$

Explication : C'est le **Théorème 1 (dérivable implique continue)** : toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue : option C. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en 0 mais n'y est pas dérivable. Les autres affirmations sont fausses : la continuité n'impose pas la monotonie, et une fonction continue en $a$ a précisément pour limite $f(a)$ en $a$ (**Définition 1**).

Question 3 : $f$ est continue sur $[0\,;4]$ avec $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on affirmer ?

• L'équation $f(x) = 1$ a exactement une solution dans $[0\,;4]$
• L'équation $f(x) = 6$ a au moins une solution dans $[0\,;4]$
• ✓ L'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;4]$
• $f$ est croissante sur $[0\,;4]$

Explication : D'après le **Théorème 3 (valeurs intermédiaires)** : $f$ est continue sur $[0\,;4]$ et $0$ est compris entre $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$, donc $f(x) = 0$ admet au moins une solution : option C. Sans la stricte monotonie exigée par le **Théorème 4 (corollaire du TVI)**, on ne peut pas affirmer « exactement une » ; et $6$ n'est pas compris entre $-2$ et $5$, donc le TVI ne garantit rien pour $f(x) = 6$.

Question 4 : Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}$ : $f$ croît de $-\infty$ à $3$ sur $]-\infty\,;1]$, puis décroît de $3$ à $-1$ sur $[1\,;4]$, puis croît de $-1$ à $+\infty$ sur $[4\,;+\infty[$. Combien de solutions a l'équation $f(x) = 0$ ?

• 1
• 2
• 0
• ✓ 3

Explication : **Méthode 3 (compter les solutions avec un tableau de variations)** : on applique le **Théorème 4 (corollaire du TVI)** sur chaque intervalle de stricte monotonie. Sur $]-\infty\,;1]$, $f$ croît de $-\infty$ à 3 et $0 \in ]-\infty\,;3]$ : une solution. Sur $[1\,;4]$, $f$ décroît de 3 à $-1$ et $0 \in [-1\,;3]$ : une solution. Sur $[4\,;+\infty[$, $f$ croît de $-1$ à $+\infty$ : une solution. Total : 3 solutions, option D.

Question 5 : Soit $g(x) = x^3 + x - 3$. On veut montrer que $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Quel argument est correct et complet ?

• $g$ est un polynôme de degré 3, donc a une unique racine
• ✓ $g$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (car $g'(x) = 3x^2 + 1 > 0$), et $0$ est compris entre $\lim_{-\infty} g = -\infty$ et $\lim_{+\infty} g = +\infty$
• $g(1) = -1 < 0$ et $g(2) = 7 > 0$, donc $\alpha$ est unique
• $g$ est dérivable donc l'équation a une seule solution

Explication : **Méthode 2 (montrer que $f(x) = k$ admet une unique solution)** : il faut les trois ingrédients du **Théorème 4 (corollaire du TVI)** : continuité ($g$ est un polynôme), stricte monotonie ($g'(x) = 3x^2 + 1 > 0$) et $k = 0$ compris entre les limites aux bornes ($-\infty$ et $+\infty$) : option B. Le changement de signe entre 1 et 2 donne seulement l'existence dans $[1\,;2]$ (**Théorème 3**), pas l'unicité sur $\mathbb{R}$ : un polynôme de degré 3 peut avoir trois racines réelles.

Question 6 : On applique la dichotomie à $f(x) = x^3 - 2$ sur $[1\,;2]$ ($f(1) < 0$, $f(2) > 0$). Après la première étape ($m = 1{,}5$, $f(1{,}5) = 1{,}375 > 0$), quel intervalle conserve-t-on ?

• ✓ $[1\,;1{,}5]$
• $[1{,}5\,;2]$
• $[1{,}25\,;1{,}75]$
• $[1\,;2]$ : on ne peut pas encore réduire

Explication : **Méthode 5 (dichotomie)** : on garde la moitié de l'intervalle où $f$ change de signe, car c'est là que le **Théorème 3 (valeurs intermédiaires)** garantit une solution. Ici $f(1) < 0$ et $f(1{,}5) > 0$ : le changement de signe a lieu sur $[1\,;1{,}5]$, c'est cet intervalle que l'on conserve : option A. Le zéro cherché est $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$.

Question 7 : On applique la dichotomie sur un intervalle de longueur 1. Combien d'étapes faut-il au minimum pour obtenir un encadrement de longueur inférieure à $10^{-3}$ ?

• 3
• 1000
• ✓ 10
• 7

Explication : **Méthode 5 (dichotomie)** : après $n$ étapes, la longueur de l'intervalle est $\frac{b-a}{2^n} = \frac{1}{2^n}$. On veut $\frac{1}{2^n} < 10^{-3}$, c'est-à-dire $2^n > 1000$ : comme $2^9 = 512$ ne suffit pas et $2^{10} = 1024 > 1000$, il faut 10 étapes : option C.

Question 8 : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. On admet que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite ?

• $-1$
• $\sqrt 3$
• $0$
• ✓ $3$

Explication : **Méthode 4 (limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$)** : la convergence étant admise, on passe à la limite dans la relation de récurrence. D'après le **Théorème 2 (image d'une suite convergente)**, $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ étant continue, la limite vérifie $\ell = \sqrt{2\ell + 3}$, soit $\ell^2 - 2\ell - 3 = 0$ avec $\ell \geq 0$. Les racines sont $-1$ et $3$ ; comme $u_n \geq 0$, on élimine $-1$ : $\ell = 3$, option D.

Question 9 : La courbe ci-dessous est celle d'une fonction $f$ continue sur $[-3\,;3]$. Combien de solutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle sur $[-3\,;3]$ ?

• 1
• 0
• ✓ 3
• 2

Explication : Graphiquement, les solutions de $f(x) = 1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite $y = 1$ : elle la coupe trois fois (avant le maximum, entre le maximum et le minimum, après le minimum), soit 3 solutions : option C. C'est la version graphique de la **Méthode 3 (compter les solutions)** : le **Théorème 4 (corollaire du TVI)** donne une solution sur chacun des trois intervalles de stricte monotonie. Ici $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et les solutions sont $-\sqrt 3$, $0$ et $\sqrt 3$.

Question 10 : Question type bac. $f(x) = e^x - 3x$ sur $[1\,;2]$. On admet que $f$ est strictement croissante sur $[1\,;2]$, avec $f(1) = e - 3 \approx -0{,}28$ et $f(2) = e^2 - 6 \approx 1{,}39$. Quel encadrement d'amplitude $0{,}1$ de la solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ est correct, sachant $f(1{,}5) \approx -0{,}02$ et $f(1{,}6) \approx 0{,}15$ ?

• ✓ $1{,}5 < \alpha < 1{,}6$
• $1{,}4 < \alpha < 1{,}5$
• $1 < \alpha < 1{,}1$
• $1{,}6 < \alpha < 1{,}7$

Explication : **Méthode 2 (montrer que $f(x) = k$ admet une unique solution, puis l'encadrer)** : $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;2]$, et $0$ est compris entre $f(1) \approx -0{,}28$ et $f(2) \approx 1{,}39$ : d'après le **Théorème 4 (corollaire du TVI)**, $\alpha$ existe et est unique dans $[1\,;2]$. On balaie ensuite au dixième : $f(1{,}5) \approx -0{,}02 < 0$ et $f(1{,}6) \approx 0{,}15 > 0$, donc $f$ change de signe entre $1{,}5$ et $1{,}6$ : $1{,}5 < \alpha < 1{,}6$, option A.