Une intégrale est-elle toujours une aire ?

Seulement si la fonction est positive sur $[a\,;b]$ avec $a \leq b$. Si $f$ est négative, $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe. Si $f$ change de signe, l'intégrale est une somme algébrique d'aires (comptées positivement au-dessus de l'axe, négativement en dessous). Pour obtenir une aire géométrique, on découpe selon le signe de $f$.

Comment choisir $u$ et $v'$ dans une intégration par parties ?

On écrit l'intégrande sous la forme $u(x)v'(x)$ en choisissant $u$ qui se simplifie quand on la dérive (un polynôme, $\ln x$) et $v'$ dont on connaît une primitive ($e^x$, $\cos x$, $x^n$). Pour $\int x e^x\,dx$ : $u = x$, $v' = e^x$. Pour $\int x\ln x\,dx$ : $u = \ln x$, $v' = x$.

À quoi sert la méthode des rectangles ?

À encadrer ou approcher une intégrale sans primitive explicite. On découpe $[a\,;b]$ en $n$ intervalles de largeur $\frac{b-a}{n}$ et on remplace l'aire sous la courbe par la somme des aires de rectangles. Pour une fonction monotone, les rectangles « inférieurs » et « supérieurs » donnent un encadrement dont la précision augmente avec $n$. Elle permet aussi d'encadrer des sommes comme $\sum \frac1k$ par des intégrales.

Intégration — BgMaths

Définitions

Définition 1 — intégrale d’une fonction continue positive. Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$ , de courbe $\mathcal C$ dans un repère orthogonal. L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ , notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ , est l’aire, en unités d’aire (u.a.), du domaine délimité par $\mathcal C$ , l’axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ . La variable est muette : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$ .

Définition 2 — intégrale d’une fonction de signe quelconque. Soit $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et $F$ une primitive de $f$ . On pose $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (indépendant de la primitive choisie). Si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$ , l’intégrale est l’opposé de l’aire ; si $f$ change de signe, c’est une aire algébrique (positive au-dessus de l’axe, négative en dessous).

Définition 3 — valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ ( $a < b$ ) est $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : la hauteur du rectangle de base $[a\,;b]$ de même aire algébrique. Si $m \leq f \leq M$ , alors $m \leq \mu \leq M$ .

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (théorème fondamental). (démonstration exigible dans le cas $f$ positive croissante) Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$ , la fonction $F_a : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable sur $[a\,;b]$ et $F_a' = f$ : c’est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$ .

Théorème 2 (calcul par une primitive). (démonstration exigible) Pour toute primitive $F$ de $f$ :

$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$

Théorème 3 (existence de primitives). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (le Théorème 1 le prouve pour $f$ continue positive ; admis dans le cas général).

Théorème 4 (linéarité, Chasles). Pour $f$ , $g$ continues, $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ et $a$ , $b$ , $c$ dans l’intervalle :

Propriété	Formule
Bornes égales, inversion	$\displaystyle\int_a^a f = 0 \qquad \int_b^a f = -\int_a^b f$
Linéarité	$\displaystyle\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda\int_a^b f + \mu\int_a^b g$
Relation de Chasles	$\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$

Théorème 5 (positivité et ordre). Pour $a \leq b$ : si $f \geq 0$ sur $[a\,;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$ sur $[a\,;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ . En particulier, si $m \leq f \leq M$ sur $[a\,;b]$ : $m(b-a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b-a)$ .

Attention. Ces propriétés supposent $a \leq b$ ; et $\int_a^b fg \neq \int_a^b f \times \int_a^b g$ en général.

Théorème 6 (intégration par parties). (démonstration exigible : intégrer $(uv)' = u'v + uv'$ ) Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a\,;b]$ , de dérivées continues :

$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

Théorème 7 (aire entre deux courbes). Si $f$ et $g$ sont continues et $f \geq g$ sur $[a\,;b]$ , l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x = a$ , $x = b$ vaut $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ (u.a.).

Méthodes

Méthode 1 — calculer une intégrale avec une primitive. 1. Chercher une primitive $F$ (tableau de référence, reconnaissance de forme, ajustement de constante pour $e^{ax}$ , $\cos(ax+b)$ …). 2. Appliquer le Théorème 2 : $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ . Exemple : $\int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 + 1 = 2$ ; $\int_1^e \frac{dx}{x} = [\ln x]_1^e = 1$ .

Méthode 2 — calculer une aire entre une courbe et l’axe. 1. Étudier le signe de $f$ sur $[a\,;b]$ . 2. Si $f \geq 0$ : aire $= \int_a^b f$ (Définition 1) ; si $f \leq 0$ : aire $= -\int_a^b f$ . 3. Si $f$ change de signe : découper avec la relation de Chasles (Théorème 4) selon les zéros de $f$ , et sommer les aires de chaque morceau. Exemple : $f(x) = x^2 - 4$ sur $[0\,;3]$ : aire $= -\int_0^2 f + \int_2^3 f = \frac{16}{3} + \frac73 = \frac{23}{3}$ .

Méthode 3 — intégration par parties. 1. Écrire l’intégrande sous la forme $u v'$ : choisir $u$ qui se simplifie en dérivant (polynôme, $\ln x$ ) et $v'$ de primitive connue ( $e^{kx}$ , $\cos$ , $\sin$ , $x^n$ ). 2. Calculer $u'$ et $v$ . 3. Appliquer le Théorème 6 et terminer avec la Méthode 1. Exemple : $\int_1^e x\ln x\,dx$ avec $u = \ln x$ , $v' = x$ : $\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}\,dx = \frac{e^2 + 1}{4}$ .

Méthode 4 — encadrer une intégrale sans la calculer. 1. Encadrer $f$ sur $[a\,;b]$ par des fonctions dont on sait calculer l’intégrale (ou par des constantes $m$ et $M$ ). 2. Intégrer les inégalités avec le Théorème 5 (bornes dans l’ordre croissant). 3. Calculer les intégrales encadrantes (Méthode 1). Exemple : sur $[0\,;1]$ , $e^{-x} \leq e^{-x^2} \leq 1$ donne $1 - e^{-1} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1$ .

Méthode 5 — calculer et interpréter une valeur moyenne. 1. Calculer $\int_a^b f$ (Méthode 1). 2. Diviser par $b - a$ (Définition 3). 3. Interpréter dans le contexte (vitesse moyenne, température moyenne…). Exemple : valeur moyenne de $x^2$ sur $[0\,;2]$ : $\mu = \frac12 \times \frac83 = \frac43$ .

Méthode 6 — aire entre deux courbes. 1. Déterminer les abscisses d’intersection ( $f(x) = g(x)$ ) et le signe de $f - g$ sur l’intervalle. 2. Appliquer le Théorème 7 : aire $= \int_a^b (f - g)$ là où $f \geq g$ ; si les courbes se croisent, découper avec Chasles (Théorème 4). Exemple : entre $f(x) = x + 2$ et $g(x) = x^2$ , intersections en $-1$ et $2$ : $\int_{-1}^{2}(x + 2 - x^2)\,dx = \frac92$ .

Méthode 7 — étudier une suite d’intégrales $I_n = \int_a^b f_n$ . 1. Positivité : montrer $f_n \geq 0$ , d’où $I_n \geq 0$ (Théorème 5). 2. Monotonie : comparer $f_{n+1}$ et $f_n$ sur $[a\,;b]$ (souvent $x^{n+1} \leq x^n$ sur $[0\,;1]$ ) et intégrer l’inégalité. 3. Convergence : suite décroissante minorée. 4. Limite : majorer $f_n$ (par exemple $I_n \leq \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}$ ) et conclure par les gendarmes ; une relation de récurrence peut s’obtenir en combinant $I_n$ et $I_{n+1}$ . Exemple : $I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,dx$ : décroissante, positive, $I_n \to 0$ , et $I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ .

Méthode 8 — méthode des rectangles (approcher ou encadrer). 1. Découper $[a\,;b]$ en $n$ intervalles de largeur $h = \frac{b-a}{n}$ . 2. Pour $f$ croissante, encadrer : $h\sum_{k=0}^{n-1} f(a + kh) \leq \int_a^b f \leq h\sum_{k=1}^{n} f(a + kh)$ (sens inverse si $f$ décroissante). 3. Augmenter $n$ pour la précision : l’intégrale est la limite des sommes $\sum f(x_i)\,\Delta x$ . Exemple : avec $t \mapsto \frac1t$ décroissante, on obtient $\ln(n+1) \leq 1 + \frac12 + \dots + \frac1n \leq 1 + \ln n$ , d’où la divergence de la somme.

Définitions

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