Quiz — Intégration

Question 1 : Que vaut $\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ ?

• $8$
• ✓ $10$
• $12$
• $7$

Explication : **Méthode 1 (calculer une intégrale avec une primitive)** : une primitive de $2x + 1$ est $F(x) = x^2 + x$. D'après le **Théorème 2 (calcul par une primitive)**, $\int_1^3 (2x+1)\,dx = [x^2 + x]_1^3 = F(3) - F(1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$, option B. Géométriquement, la fonction étant positive sur $[1\,;3]$, c'est l'aire d'un trapèze de bases 3 et 7 et de hauteur 2 (**Définition 1**).

Question 2 : Que vaut $\displaystyle\int_0^{1} e^{2x}\,dx$ ?

• $e^2 - 1$
• $2(e^2 - 1)$
• ✓ $\dfrac{e^2 - 1}{2}$
• $\dfrac{e^2}{2}$

Explication : **Méthode 1 (calculer une intégrale avec une primitive)** : pour $e^{2x}$, forme $e^{ax}$, on ajuste la constante : une primitive est $\frac12 e^{2x}$ (en dérivant, le facteur 2 ressort). D'après le **Théorème 2**, $\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\frac12 e^{2x}\right]_0^1 = \frac{e^2}{2} - \frac12 = \frac{e^2 - 1}{2}$, option C. Oublier le facteur $\frac12$ (option A) est l'erreur classique.

Question 3 : Que vaut $\displaystyle\int_1^e \dfrac{3}{x}\,dx$ ?

• $3e$
• $\dfrac{3}{e} - 3$
• $\ln 3$
• ✓ $3$

Explication : **Méthode 1 (calculer une intégrale avec une primitive)** : sur $]0\,;+\infty[$, une primitive de $\frac1x$ est $\ln x$, donc par linéarité une primitive de $\frac3x$ est $3\ln x$. D'après le **Théorème 2**, $\int_1^e \frac3x\,dx = [3\ln x]_1^e = 3\ln e - 3\ln 1 = 3 \times 1 - 0 = 3$, option D.

Question 4 : Le graphique représente $f(x) = 4 - x^2$ sur $[-2\,;2]$. Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine coloré entre la courbe et l'axe des abscisses ?

• $\dfrac{16}{3}$
• $8$
• $16$
• ✓ $\dfrac{32}{3}$

Explication : **Méthode 2 (calculer une aire)** : $f \geq 0$ sur $[-2\,;2]$, donc d'après la **Définition 1**, l'aire est directement l'intégrale. On applique la **Méthode 1** : $\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac83\right) - \left(-8 + \frac83\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}7$, option D. C'est cohérent avec le graphique : un peu moins que le rectangle $4 \times 4 = 16$ qui contient le domaine.

Question 5 : Soit $f(x) = x^2 - 4$ sur $[0\,;3]$. Quelle est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0\,;3]$ ?

• ✓ $\dfrac{23}{3}$
• $\int_0^3 (x^2 - 4)\,dx = -3$
• $3$
• $\dfrac{16}{3}$

Explication : **Méthode 2 (calculer une aire)** : $f$ change de signe en 2 ($f \leq 0$ sur $[0\,;2]$, $f \geq 0$ sur $[2\,;3]$), donc on découpe avec la relation de Chasles (**Théorème 4**) : aire $= -\int_0^2 (x^2-4)\,dx + \int_2^3 (x^2-4)\,dx$, l'intégrale d'une fonction négative étant l'opposé de l'aire (**Définition 2**). Avec $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$ (**Théorème 2**) : $F(2) - F(0) = -\frac{16}{3}$ et $F(3) - F(2) = \frac73$. Aire $= \frac{16}{3} + \frac73 = \frac{23}{3}$, option A. L'intégrale brute $\int_0^3 f = -3$ n'est pas l'aire, car $f$ change de signe.

Question 6 : Soit $I = \displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx$. Par intégration par parties avec $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$, que vaut $I$ ?

• $I = e - 1$
• ✓ $I = 1$
• $I = e$
• $I = 2e - 1$

Explication : **Méthode 3 (intégration par parties)** : avec $u = x$ (qui se simplifie en dérivant : $u' = 1$) et $v' = e^x$ (de primitive $v = e^x$), le **Théorème 6 (intégration par parties)** donne $I = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x\,dx = e - [e^x]_0^1$. Or $[e^x]_0^1 = e - 1$ (**Théorème 2**). Donc $I = e - (e - 1) = 1$, option B.

Question 7 : Que vaut $J = \displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$ ? (Indication : IPP avec $u = \ln x$, $v' = 1$.)

• $e - 1$
• $e$
• ✓ $1$
• $\dfrac{e^2 - 1}{2}$

Explication : **Méthode 3 (intégration par parties)** : on choisit $u = \ln x$ (car sa dérivée $u' = \frac1x$ simplifie l'intégrale) et $v' = 1$, de primitive $v = x$. Le **Théorème 6** donne $J = [x\ln x]_1^e - \int_1^e x \times \frac1x\,dx = (e\ln e - 1 \times \ln 1) - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = 1$, option C. Le produit $x \times \frac1x = 1$ rend la seconde intégrale immédiate.

Question 8 : Sur $[0\,;1]$, on a $0 \leq e^{-x^2} \leq 1$ et $e^{-x^2} \geq e^{-x}$. Quel encadrement de $K = \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ en déduit-on ?

• $0 \leq K \leq 1 - e^{-1}$
• ✓ $1 - e^{-1} \leq K \leq 1$
• $e^{-1} \leq K \leq 1$
• $K = 1 - e^{-1}$

Explication : **Méthode 4 (encadrer une intégrale sans la calculer)** : on intègre l'encadrement $e^{-x} \leq e^{-x^2} \leq 1$ entre 0 et 1 (bornes croissantes) grâce au **Théorème 5 (positivité et ordre)** : $\int_0^1 e^{-x}\,dx \leq K \leq \int_0^1 1\,dx$. Par la **Méthode 1**, $\int_0^1 e^{-x}\,dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - e^{-1} \approx 0{,}63$ et $\int_0^1 1\,dx = 1$. Donc $1 - e^{-1} \leq K \leq 1$, option B (valeur réelle : $K \approx 0{,}747$). C'est précieux ici : $e^{-x^2}$ n'a pas de primitive explicite.

Question 9 : La vitesse d'un mobile est $v(t) = 3t^2$ (en m/s) pour $t \in [0\,;2]$ (en s). Quelle est la vitesse moyenne sur $[0\,;2]$ ?

• ✓ $4$ m/s
• $8$ m/s
• $12$ m/s
• $6$ m/s

Explication : **Méthode 5 (valeur moyenne)** : d'après la **Définition 3 (valeur moyenne)**, $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$. On calcule l'intégrale avec la **Méthode 1** : $\int_0^2 3t^2\,dt = [t^3]_0^2 = 8$ (c'est la distance parcourue, en mètres). Donc $\mu = \frac{1}{2-0} \times 8 = 4$ m/s, option A : la vitesse moyenne est la distance divisée par la durée.

Question 10 : Question type bac. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx$. Quelle affirmation est vraie ?

• ✓ $(I_n)$ est décroissante et $I_n \geq 0$, donc elle converge
• $(I_n)$ est croissante car $x^n$ augmente avec $n$
• $I_n \geq 1$ pour tout $n$
• $I_n = \frac{1}{n+1}$ pour tout $n$

Explication : **Méthode 7 (étudier une suite d'intégrales)** : on compare les intégrandes puis on applique le **Théorème 5 (positivité et ordre)**. Sur $[0\,;1]$, $x^{n+1} \leq x^n$, donc $x^{n+1}e^{-x} \leq x^n e^{-x}$ et, en intégrant, $I_{n+1} \leq I_n$ : la suite est décroissante. De plus $x^n e^{-x} \geq 0$ donne $I_n \geq 0$ par positivité. Décroissante et minorée par 0, $(I_n)$ converge : option A. Sa limite est 0, car $e^{-x} \leq 1$ donne $I_n \leq \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1} \to 0$ (théorème des gendarmes).