Variations d'une fonction

Sens de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est croissante sur $I$ si pour tous $a < b$ dans $I$ : $f(a) \leq f(b)$ — elle conserve l’ordre.
• $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous $a < b$ dans $I$ : $f(a) \geq f(b)$ — elle renverse l’ordre.
• $f$ est constante sur $I$ si $f(a) = f(b)$ pour tous $a$, $b$ de $I$.
• $f$ est monotone sur $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$.

Avec des inégalités strictes ($f(a) < f(b)$), on dit strictement croissante.

Sur une courbe, « croissante » se voit en montant de gauche à droite, « décroissante » en descendant. Les intervalles de variation se lisent toujours sur l’axe des abscisses.

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Tableau de variations

Un tableau de variations résume le comportement de $f$ :

• ligne des $x$ : bornes de l’intervalle et valeurs où le sens change ;
• ligne de $f(x)$ : flèches $\nearrow$ (croissante) ou $\searrow$ (décroissante), avec les valeurs de $f$ aux extrémités des flèches.

Exemple :

$x$	$-3$		$-1$		$2$		$4$
$f(x)$	$1$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$3$

Lecture : $f$ est croissante sur $[-3\,;\,-1]$, décroissante sur $[-1\,;\,2]$, croissante sur $[2\,;\,4]$. On peut affirmer $f(0) > f(1)$ (décroissante sur $[-1\,;\,2]$), mais on ne peut pas comparer $f(-2)$ et $f(3)$ sans autre information.

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Maximum et minimum sur un intervalle

• $f$ admet un maximum $M$ sur $I$, atteint en $x_0$, si $f(x_0) = M$ et $f(x) \leq M$ pour tout $x \in I$.
• $f$ admet un minimum $m$ sur $I$, atteint en $x_0$, si $f(x_0) = m$ et $f(x) \geq m$ pour tout $x \in I$.

Le maximum est une valeur de $f(x)$ (une ordonnée) ; on précise en quelle valeur de $x$ il est atteint.

Méthode : sur un tableau de variations, le maximum est la plus grande valeur écrite sur la ligne de $f(x)$ (aux bornes ou aux changements de sens) ; le minimum est la plus petite.

Dans l’exemple ci-dessus : maximum $5$ atteint en $x = -1$ ; minimum $-1$ atteint en $x = 2$. Ce sont les extrémums de $f$ sur $[-3\,;\,4]$.

Graphiquement : le maximum est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe, le minimum celle du point le plus bas.

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Fonctions affines

Soit $f(x) = mx + p$.

• $p = f(0)$ est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$.
• $m$ est le taux d’accroissement : pour tous $a \neq b$,

$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $m$ (ou diminue si $m < 0$).

Démonstration des variations. Soient $a < b$. Alors $f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a)$. Comme $b - a > 0$ :

• si $m > 0$, $f(b) - f(a) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
• si $m < 0$, $f(b) - f(a) < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
• si $m = 0$, $f$ est constante.

Signe de $m$	Variations	Signe de $f$ (avec $x_0 = -\frac{p}{m}$)	Droite
$m > 0$	croissante	négative avant $x_0$, positive après	monte
$m < 0$	décroissante	positive avant $x_0$, négative après	descend

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Variations des fonctions de référence

Fonction	Variations
$x \mapsto x^2$	décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, minimum $0$ en $0$
$x \mapsto \lvert x \rvert$	décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, minimum $0$ en $0$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$
$x \mapsto \sqrt{x}$	croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
$x \mapsto x^3$	croissante sur $\mathbb{R}$

Comparer $f(a)$ et $f(b)$ : on place $a$ et $b$ dans un intervalle où $f$ est monotone.

$f$ décroissante sur $[-3\,;\,5]$, comparer $f(1)$ et $f(4)$ : $1 < 4$ donc $f(1) \geq f(4)$. Comparer $(-2{,}5)^2$ et $(-2{,}4)^2$ : $-2{,}5 < -2{,}4 \leq 0$ et carré décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, donc $(-2{,}5)^2 > (-2{,}4)^2$.

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Problème d’optimisation

Un enclos rectangulaire s’appuie sur un mur ; on dispose de $40$ m de grillage pour les trois autres côtés. Quelle largeur $x$ rend l’aire maximale ?

La longueur vaut $40 - 2x$, donc $A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$, pour $x \in\, ]0\,;\,20[$.

$x$	$2$	$5$	$8$	$10$	$12$	$15$	$18$
$A(x)$	$72$	$150$	$192$	$200$	$192$	$150$	$72$

Le tableau suggère un maximum de $200$ en $x = 10$. Preuve : $A(x) = -2(x^2 - 20x) = -2\left[(x - 10)^2 - 100\right] = 200 - 2(x - 10)^2$. Comme $(x - 10)^2 \geq 0$, $A(x) \leq 200$, avec égalité si et seulement si $x = 10$.

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Algorithme : approcher un extremum par balayage

Quand on ne sait pas calculer exactement un maximum, on balaye l’intervalle avec un pas fixé et on garde la plus grande valeur rencontrée.

def aire(x):
    return x * (40 - 2 * x)

M = aire(0)
xM = 0
x = 0
while x <= 20:
    if aire(x) > M:
        M = aire(x)
        xM = x
    x = x + 0.1
print(xM, M)

Le programme affiche une valeur proche de 10 et 200. Plus le pas est petit, meilleure est l’approximation (mais plus le calcul est long). Cet algorithme donne une valeur approchée ; seule une démonstration (comme ci-dessus) donne la valeur exacte.

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Piège classique

Ne confonds pas « $f$ est négative » et « $f$ est décroissante ».

$f(x) = 2x - 10$ est croissante sur $\mathbb{R}$ (car $m = 2 > 0$) et pourtant négative sur $]-\infty\,;\,5[$. Le signe se lit par rapport à l’axe des abscisses, le sens de variation se lit de gauche à droite.