Quiz — Variations d'une fonction

Question 1 : D'après ce tableau de variations, quel est le maximum de $f$ sur $[-3\,;\,4]$ et en quelle valeur est-il atteint ?

• Maximum $4$, atteint en $x = 6$
• ✓ Maximum $6$, atteint en $x = 1$
• Maximum $1$, atteint en $x = 6$
• Maximum $6$, atteint en $x = -3$

Explication : Sur la ligne de $f(x)$, la plus grande valeur est $6$, dans la colonne $x = 1$. Le maximum est donc $6$, atteint en $x = 1$. Attention à ne pas échanger la valeur de $x$ et celle de $f(x)$.

Question 2 : D'après le même tableau (croissante de $-3$ à $1$, décroissante de $1$ à $4$, avec $f(-3) = -2$, $f(1) = 6$, $f(4) = 0$), quel est le minimum de $f$ sur $[-3\,;\,4]$ ?

• $0$
• $-3$
• ✓ $-2$
• $1$

Explication : Les valeurs candidates sont celles écrites dans le tableau : $-2$, $6$ et $0$. La plus petite est $-2$, atteinte en $x = -3$. Le minimum est $-2$ (et non $-3$, qui est une valeur de $x$).

Question 3 : $f$ est décroissante sur $[0\,;\,10]$. Que peut-on dire de $f(2)$ et $f(7)$ ?

• $f(2) < f(7)$
• $f(2) = f(7)$
• On ne peut pas conclure
• ✓ $f(2) \geq f(7)$

Explication : $2 < 7$ et $f$ décroissante sur un intervalle qui contient $2$ et $7$ : $f$ renverse l'ordre, donc $f(2) \geq f(7)$.

Question 4 : Quel est le sens de variation de $g(x) = -3x + 7$ sur $\mathbb{R}$ ?

• ✓ Décroissante
• Croissante
• Constante
• Croissante puis décroissante

Explication : $g$ est affine de coefficient directeur $m = -3 < 0$ : elle est décroissante sur $\mathbb{R}$. Le $+7$ ne change pas le sens de variation.

Question 5 : Une fonction affine $f$ vérifie $f(2) = 5$ et $f(6) = 17$. Quel est son coefficient directeur ?

• $12$
• $4$
• ✓ $3$
• $\dfrac{1}{3}$

Explication : $m = \dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \dfrac{17 - 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$. Le coefficient directeur est le taux d'accroissement : variation de $f(x)$ divisée par variation de $x$.

Question 6 : D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?

• $[-2\,;\,4]$
• ✓ $[1\,;\,4]$
• $[-2\,;\,1]$
• $[-3\,;\,4]$

Explication : La courbe descend de $x = -2$ à $x = 1$, puis monte de $x = 1$ à $x = 4$. $f$ est donc croissante sur $[1\,;\,4]$. Les intervalles de variation se lisent sur l'axe des abscisses.

Question 7 : D'après la même courbe ($f(x) = (x-1)^2 - 3$ sur $[-2\,;\,4]$), quel est le minimum de $f$ sur cet intervalle ?

• $1$
• $-2$
• $6$
• ✓ $-3$

Explication : Le point le plus bas de la courbe est le sommet, d'abscisse $1$ et d'ordonnée $-3$. Le minimum est $-3$, atteint en $x = 1$. On vérifie : $(x-1)^2 \geq 0$ donc $f(x) \geq -3$.

Question 8 : Laquelle de ces phrases est vraie pour la fonction $f$ représentée dans la question précédente ?

• $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,4]$
• $f$ est monotone sur $[-2\,;\,4]$
• ✓ $f$ n'est ni croissante ni décroissante sur $[-2\,;\,4]$
• $f$ est croissante sur $[-2\,;\,4]$

Explication : $f$ descend puis remonte : elle change de sens en $x = 1$. Elle n'est donc ni croissante, ni décroissante (donc pas monotone) sur tout l'intervalle $[-2\,;\,4]$. On doit découper en $[-2\,;\,1]$ et $[1\,;\,4]$.

Question 9 : Un enclos rectangulaire est bordé par un mur sur un côté ; on dispose de 40 m de grillage pour les trois autres côtés. Si $x$ est la largeur, l'aire est $A(x) = x(40 - 2x)$. Pour quelle largeur l'aire est-elle maximale ?

• $x = 20$
• $x = 40$
• $x = 5$
• ✓ $x = 10$

Explication : $A(x) = 40x - 2x^2 = -2(x^2 - 20x) = -2(x - 10)^2 + 200$. Comme $-2(x-10)^2 \leq 0$, on a $A(x) \leq 200$ avec égalité pour $x = 10$. L'aire maximale est $200$ m², pour une largeur de $10$ m (et une longueur de $20$ m).

Question 10 : On exécute l'algorithme de balayage ci-dessous avec $f(x) = x(40 - 2x)$. Que contient la variable $M$ à la fin ?

• Le plus grand $x$ testé
• ✓ La plus grande valeur $f(x)$ trouvée sur les valeurs testées
• La valeur de $x$ où $f$ est maximale
• La somme des valeurs $f(x)$

Explication : À chaque étape, si $f(x)$ dépasse $M$, on remplace $M$ par $f(x)$ : $M$ finit par contenir la plus grande image rencontrée (ici $200$, pour $x = 10$). Pour retenir aussi l'abscisse, il faudrait une seconde variable mise à jour en même temps.