Quel lien y a-t-il entre un système et deux droites ?

Chaque équation du premier degré ax + by = c est l'équation d'une droite du plan. Résoudre le système, c'est chercher les points communs aux deux droites : un point unique si elles sont sécantes, aucun si elles sont parallèles distinctes, une infinité si elles sont confondues.

Substitution ou combinaison : quelle méthode choisir ?

La substitution est pratique quand une inconnue est déjà isolée ou a un coefficient 1 (par exemple x = 7 − 2y). La combinaison est plus rapide quand les coefficients d'une inconnue sont opposés ou faciles à rendre opposés (3y et −3y). Les deux mènent au même résultat.

Comment savoir si le couple trouvé est bien la solution ?

On remplace x et y par les valeurs trouvées dans les deux équations de départ. Le couple n'est solution que si les deux égalités sont vérifiées simultanément.

Systèmes d'équations

Relation du premier degré $ax + by = c$

Place dans le programme. En seconde, on apprend à exprimer une variable en fonction de l’autre dans une relation $ax + by = c$ et à déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c’est exactement chercher ce point commun : la substitution est la méthode de référence ; la combinaison est un outil complémentaire.

Une relation du type $ax + by = c$ (avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls) lie deux variables $x$ et $y$ . Lorsque $b \neq 0$ , on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ :

$ax + by = c \iff by = c - ax \iff y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$

On reconnaît une fonction affine : l’ensemble des points $(x\,;\, y)$ vérifiant $ax + by = c$ est une droite, et $y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ est son équation réduite.

Exemple. $3x + 2y = 12 \iff y = -\dfrac{3}{2}x + 6$ : droite de pente $-\dfrac{3}{2}$ et d’ordonnée à l’origine $6$ .

Système de deux équations à deux inconnues

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Résoudre le système, c’est trouver tous les couples $(x\,;\, y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.

Exemple. Le couple $(2\,;\, -1)$ est solution de $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$ car $3 \times 2 + (-1) = 5$ et $2 - 2 \times (-1) = 4$ .

Méthode par substitution

Exprimer une inconnue en fonction de l’autre à partir d’une équation (choisir celle où c’est le plus simple).
Remplacer (substituer) dans l’autre équation, qui n’a plus qu’une inconnue.
Résoudre, puis calculer la seconde inconnue.

Exemple.

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

De la première équation : $x = 7 - 2y$ . Dans la seconde :

$3(7 - 2y) - y = 7 \iff 21 - 6y - y = 7 \iff -7y = -14 \iff y = 2$

Puis $x = 7 - 2 \times 2 = 3$ . La solution est le couple $(3\,;\, 2)$ .

Vérification : $3 + 2 \times 2 = 7$ et $3 \times 3 - 2 = 7$ .

Méthode par combinaison

Multiplier chaque équation par un nombre pour que les coefficients d’une inconnue soient opposés.
Additionner membre à membre : cette inconnue disparaît.
Résoudre, puis reporter dans une équation de départ.

Exemple 1.

$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = 6 \end{cases}$

Les coefficients de $y$ sont déjà opposés. Par addition : $7x = 14$ , donc $x = 2$ . Puis $2 \times 2 + 3y = 8$ donne $y = \dfrac{4}{3}$ .

Solution : $\left(2\,;\, \dfrac{4}{3}\right)$ . Vérification : $4 + 4 = 8$ et $10 - 4 = 6$ .

Exemple 2.

$\begin{cases} 4x + 6y = 10 \\ 6x - 9y = 3 \end{cases}$

On multiplie la première par $3$ et la seconde par $-2$ pour obtenir $12x$ et $-12x$ :

$\begin{cases} 12x + 18y = 30 \\ -12x + 18y = -6 \end{cases} \implies 36y = 24 \iff y = \frac{2}{3}$

Puis $4x + 6 \times \dfrac{2}{3} = 10$ , soit $4x = 6$ et $x = \dfrac{3}{2}$ . Solution : $\left(\dfrac{3}{2}\,;\, \dfrac{2}{3}\right)$ .

Exemple 3 (aucune solution). $\begin{cases} 4x + 6y = 10 \\ 6x + 9y = 3 \end{cases}$ : $3 \times$ la première moins $2 \times$ la seconde donne $0 = 24$ , impossible. Les équations réduites $y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$ et $y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}$ confirment que les droites sont parallèles et distinctes.

Interprétation graphique : intersection de deux droites

Chaque équation représente une droite. Les solutions du système sont les coordonnées des points communs aux deux droites.

Avec les équations réduites $y = m_1 x + p_1$ et $y = m_2 x + p_2$ :

Situation	Droites	Nombre de solutions
$m_1 \neq m_2$	sécantes	une seule
$m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$	parallèles distinctes	aucune
$m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$	confondues	une infinité

Exemples.

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x + y = 7 \end{cases}$ : par soustraction, $0 = 3$ , impossible. Aucune solution (droites parallèles $y = -x + 4$ et $y = -x + 7$ ).
$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ : la seconde équation est le double de la première. Une infinité de solutions : tous les couples $(x\,;\, 2x - 3)$ .

Point d’intersection de deux droites données par leur équation réduite

Pour $d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ , on égale les ordonnées :

$2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2, \qquad y = 2 \times 2 - 1 = 3$

Les droites se coupent en $(2\,;\, 3)$ .

Modéliser par un système

Au cinéma, $3$ places adultes et $2$ places enfants coûtent $41$ € ; $1$ place adulte et $4$ places enfants coûtent $37$ €. Quel est le prix de chaque place ?

Soient $a$ et $e$ les prix (en €) d’une place adulte et d’une place enfant :

$\begin{cases} 3a + 2e = 41 \\ a + 4e = 37 \end{cases}$

Par substitution, $a = 37 - 4e$ : $3(37 - 4e) + 2e = 41 \iff 111 - 10e = 41 \iff e = 7$ , puis $a = 37 - 28 = 9$ .

Une place adulte coûte $9$ €, une place enfant $7$ €. Vérification : $27 + 14 = 41$ et $9 + 28 = 37$ .

Algorithme : résoudre un système en Python

Pour un système où $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ (droites sécantes), on peut programmer les formules obtenues par combinaison :

def resoudre(a1, b1, c1, a2, b2, c2):
    d = a1 * b2 - a2 * b1
    if d == 0:
        return "pas de solution unique"
    x = (c1 * b2 - c2 * b1) / d
    y = (a1 * c2 - a2 * c1) / d
    return x, y

resoudre(2, 3, 8, 5, -3, 6) renvoie (2.0, 1.333...).