Quiz — Systèmes d'équations

Question 1 : Le couple $(2\,;\, -1)$ est-il solution du système $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$ ?

• ✓ Oui, car il vérifie les deux équations
• Non, car il ne vérifie que la première équation
• Non, car il ne vérifie que la seconde équation
• Non, car il ne vérifie aucune des deux

Explication : Première équation : $3 \times 2 + (-1) = 5$. Seconde : $2 - 2 \times (-1) = 4$. Les deux égalités sont vraies, le couple est solution.

Question 2 : Quelle est la solution du système $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ ?

• $(1\,;\, 3)$
• ✓ $(3\,;\, 2)$
• $(2\,;\, 3)$
• $(7\,;\, 0)$

Explication : De la première équation, $x = 7 - 2y$. Dans la seconde : $3(7 - 2y) - y = 7$, soit $21 - 7y = 7$, donc $y = 2$ puis $x = 3$. Vérification : $3 + 4 = 7$ et $9 - 2 = 7$.

Question 3 : Pour résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = 6 \end{cases}$ par combinaison, quelle opération élimine $y$ immédiatement ?

• Soustraire les deux équations
• Multiplier la première par $5$ et la seconde par $2$
• ✓ Additionner les deux équations membre à membre
• Diviser la première par $3$

Explication : Les coefficients de $y$ sont $3$ et $-3$, déjà opposés. En additionnant : $7x = 14$, donc $x = 2$, puis $3y = 8 - 4 = 4$ et $y = \dfrac{4}{3}$.

Question 4 : Combien de solutions possède le système $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ ?

• Aucune
• Une seule
• Exactement deux
• ✓ Une infinité

Explication : La seconde équation est la première multipliée par $2$ : les deux droites sont confondues. Tout couple vérifiant $y = 2x - 3$ est solution, il y en a une infinité.

Question 5 : Combien de solutions possède le système $\begin{cases} x + y = 4 \\ x + y = 7 \end{cases}$ ?

• ✓ Aucune
• Une seule
• Une infinité
• Cela dépend de $x$

Explication : En soustrayant, on obtient $0 = 3$, ce qui est impossible. Les droites $y = -x + 4$ et $y = -x + 7$ ont le même coefficient directeur $-1$ et des ordonnées à l'origine différentes : elles sont parallèles et distinctes.

Question 6 : Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation $3x + 2y = 12$ ?

• $y = 3x + 12$
• ✓ $y = -\dfrac{3}{2}x + 6$
• $y = \dfrac{3}{2}x - 6$
• $y = -3x + 12$

Explication : $2y = 12 - 3x$, donc $y = -\dfrac{3}{2}x + 6$ : la pente est $-\dfrac{3}{2}$ et l'ordonnée à l'origine $6$.

Question 7 : Quel est le point d'intersection des droites $d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ ?

• $(1\,;\, 1)$
• $(3\,;\, 5)$
• ✓ $(2\,;\, 3)$
• $(4\,;\, 1)$

Explication : Au point d'intersection les ordonnées sont égales : $2x - 1 = -x + 5$, soit $3x = 6$ et $x = 2$. Alors $y = 2 \times 2 - 1 = 3$. Le point est $(2\,;\, 3)$, et on vérifie $-2 + 5 = 3$.

Question 8 : D'après le graphique, quelle est la solution du système formé par les droites $2x + 3y = 8$ (bleue) et $5x - 3y = 6$ (orange) ?

• $(0\,;\, 2)$
• $(2\,;\, 0)$
• ✓ $\left(2\,;\, \dfrac{4}{3}\right)$
• $(4\,;\, 0)$

Explication : Les deux droites se coupent au point $A$ d'abscisse $2$ et d'ordonnée environ $1{,}3$, soit $\dfrac{4}{3}$. Par le calcul : $2 \times 2 + 3 \times \dfrac{4}{3} = 8$ et $5 \times 2 - 3 \times \dfrac{4}{3} = 6$.

Question 9 : Au cinéma, $3$ places adultes et $2$ places enfants coûtent $41$ € ; $1$ place adulte et $4$ places enfants coûtent $37$ €. Quel système modélise la situation, avec $a$ et $e$ les prix d'une place adulte et d'une place enfant ?

• ✓ $\begin{cases} 3a + 2e = 41 \\ a + 4e = 37 \end{cases}$
• $\begin{cases} 3a + 2e = 37 \\ a + 4e = 41 \end{cases}$
• $\begin{cases} 2a + 3e = 41 \\ 4a + e = 37 \end{cases}$
• $\begin{cases} 5a + 6e = 78 \end{cases}$

Explication : Chaque phrase se traduit par une équation : $3a + 2e = 41$ et $a + 4e = 37$. On trouve ensuite $a = 9$ € et $e = 7$ € (par exemple en substituant $a = 37 - 4e$ : $111 - 12e + 2e = 41$, donc $e = 7$).

Question 10 : Les droites $d_1 : 4x + 6y = 10$ et $d_2 : 6x + 9y = 3$ sont-elles sécantes ?

• ✓ Non : elles sont parallèles et distinctes
• Oui, elles se coupent en $(1\,;\, 1)$
• Non : elles sont confondues
• Oui, elles se coupent en $(0\,;\, 0)$

Explication : Équations réduites : $d_1 : y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$ et $d_2 : y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}$. Même pente $-\dfrac{2}{3}$, ordonnées à l'origine différentes : les droites sont parallèles et distinctes, le système n'a aucune solution. Par combinaison ($3 \times$ la première moins $2 \times$ la seconde) on obtiendrait $0 = 24$, impossible.