Quand utiliser la médiane plutôt que la moyenne ?

La moyenne tient compte de toutes les valeurs et est sensible aux valeurs extrêmes : un seul salaire très élevé la fait monter. La médiane, qui partage la série ordonnée en deux moitiés, n'est pas affectée par une valeur extrême. On la préfère quand la série contient des valeurs atypiques ; on associe en général moyenne et écart type, ou médiane et écart interquartile.

Que mesure l'écart type ?

L'écart type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : il est petit si les valeurs sont regroupées près de la moyenne, grand si elles sont étalées. Il s'exprime dans la même unité que les données. Il vaut $0$ seulement si toutes les valeurs sont égales.

Comment calculer la moyenne d'une série regroupée en classes ?

On ne connaît pas les valeurs exactes, on fait l'hypothèse qu'elles sont réparties uniformément dans chaque classe : chaque classe est représentée par son centre. La moyenne est alors la moyenne des centres pondérée par les effectifs : $\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N}$. C'est une estimation.

Statistiques descriptives

Vocabulaire

Une série statistique est la liste des valeurs $x_1, x_2, \ldots$ d’un caractère observé sur une population de $N$ individus (l’effectif total). Le nombre de fois où une valeur apparaît est son effectif $n_i$ ; sa fréquence est $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ (la somme des fréquences vaut $1$ ).

Les représentations usuelles sont le diagramme en barres, le diagramme circulaire (l’angle est proportionnel à l’effectif) et, pour une série en classes, l’histogramme.

Indicateurs de position

Moyenne

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} \qquad \text{ou, avec des effectifs : } \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{N}$

Exemple. Notes $8, 12, 15, 9, 11$ : $\bar{x} = \dfrac{55}{5} = 11$ .

Linéarité de la moyenne. Si l’on transforme chaque valeur par $y_i = a x_i + b$ , alors $\bar{y} = a\bar{x} + b$ .

Une classe a $11$ de moyenne. Le professeur ajoute $2$ points à chacun : nouvelle moyenne $13$ . Il multiplie toutes les notes par $1{,}1$ : nouvelle moyenne $12{,}1$ .

Moyenne de deux groupes. Si un groupe de $n_1$ élèves a pour moyenne $m_1$ et un groupe de $n_2$ élèves a pour moyenne $m_2$ , la moyenne globale est $\dfrac{n_1 m_1 + n_2 m_2}{n_1 + n_2}$ (et pas $\frac{m_1 + m_2}{2}$ , sauf si $n_1 = n_2$ ).

Médiane

On ordonne la série par ordre croissant. La médiane $Me$ partage la série en deux parties de même effectif :

$N$ impair : $Me$ est la valeur de rang $\dfrac{N + 1}{2}$ ;
$N$ pair : $Me$ est la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$ .

Exemple. $3, 9, 4, 12, 7, 5$ → ordonnée : $3, 4, 5, 7, 9, 12$ ; $Me = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$ .

Quartiles

Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.

En pratique : on calcule $\dfrac{N}{4}$ et $\dfrac{3N}{4}$ ; si le résultat n’est pas entier, on l’arrondit à l’entier supérieur ; $Q_1$ et $Q_3$ sont les valeurs de ces rangs dans la série ordonnée.

Exemple. $3, 5, 7, 9, 11, 12, 15$ ( $N = 7$ ). $\frac{N}{4} = 1{,}75 \to$ rang $2$ : $Q_1 = 5$ . $\frac{3N}{4} = 5{,}25 \to$ rang $6$ : $Q_3 = 12$ . $Me = 9$ (rang $4$ ).

Indicateurs de dispersion

Indicateur	Définition	Ce qu’il mesure
Étendue	$x_{\max} - x_{\min}$	amplitude totale, très sensible aux extrêmes
Écart interquartile	$Q_3 - Q_1$	largeur de la zone contenant la moitié centrale des valeurs
Écart type	$\sigma = \sqrt{V}$	dispersion autour de la moyenne

Variance et écart type. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

$V = \frac{n_1 (x_1 - \bar{x})^2 + \cdots + n_k (x_k - \bar{x})^2}{N} \qquad \sigma = \sqrt{V}$

Exemple. $8, 10, 12, 14, 16$ : $\bar{x} = 12$ ; écarts $-4, -2, 0, 2, 4$ ; carrés $16, 4, 0, 4, 16$ ; $V = \dfrac{40}{5} = 8$ ; $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .

L’écart type est dans la même unité que les données. Il vaut $0$ si et seulement si toutes les valeurs sont égales. Si $y_i = a x_i + b$ , alors $\sigma_y = |a|\,\sigma_x$ : ajouter une constante ne change pas la dispersion.

En pratique, on calcule l’écart type avec la calculatrice, un tableur (ECARTYPEP) ou Python :

def moyenne(L):
    return sum(L) / len(L)

def ecart_type(L):
    m = moyenne(L)
    V = sum((x - m) ** 2 for x in L) / len(L)
    return V ** 0.5

print(ecart_type([8, 10, 12, 14, 16]))   # 2.828...

Influence de l’ajout ou de la suppression d’une valeur

Moyenne : ajouter une valeur supérieure à la moyenne la fait augmenter ; une valeur inférieure la fait diminuer. Une valeur très éloignée (valeur extrême) peut la déplacer fortement.
Médiane : elle ne dépend que du rang des valeurs ; ajouter une valeur extrême la déplace peu (au plus d’un rang).

Exemple. Salaires $1500, 1600, 1700, 1800$ : moyenne $1650$ , médiane $1650$ . On ajoute $9000$ : moyenne $3120$ , médiane $1700$ . La médiane décrit mieux le salaire « typique ».

Séries regroupées en classes

Quand le caractère est continu (durées, tailles…), on regroupe les valeurs en classes de même amplitude et on représente la série par un histogramme (rectangles dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif).

Exemple. Durées de trajet (min) de $32$ élèves :

Classe	$[0\,;\,10[$	$[10\,;\,20[$	$[20\,;\,30[$	$[30\,;\,40[$
Effectif $n_i$	$4$	$10$	$12$	$6$
Centre $c_i$	$5$	$15$	$25$	$35$
Effectif cumulé	$4$	$14$	$26$	$32$

Moyenne estimée. On suppose la répartition uniforme dans chaque classe et on remplace chaque classe par son centre :

$\bar{x} \approx \frac{4 \times 5 + 10 \times 15 + 12 \times 25 + 6 \times 35}{32} = \frac{680}{32} = 21{,}25 \text{ min}$

Classe médiane. C’est la classe où l’effectif cumulé atteint $\dfrac{N}{2} = 16$ : ici $[20\,;\,30[$ (on passe de $14$ à $26$ ). En supposant la répartition uniforme dans cette classe, on estime la médiane : il manque $16 - 14 = 2$ individus sur les $12$ de la classe, soit $Me \approx 20 + \dfrac{2}{12} \times 10 \approx 21{,}7$ min.

Le polygone des fréquences cumulées (points $(30\,;\,\frac{26}{32})$ , etc., reliés par des segments) permet la même lecture graphiquement : la médiane est l’abscisse pour laquelle la fréquence cumulée vaut $0{,}5$ .

Comparer deux séries

On compare avec un couple d’indicateurs : moyenne et écart type, ou médiane et écart interquartile.

Exemple. Deux classes, moyenne $12$ toutes les deux ; écart type $1{,}5$ pour la première, $4$ pour la seconde. Le niveau moyen est le même, mais la seconde classe est bien plus hétérogène.

Boîte à moustaches. On représente $x_{\min}$ , $Q_1$ , $Me$ , $Q_3$ , $x_{\max}$ sur un axe : la boîte va de $Q_1$ à $Q_3$ (elle contient environ la moitié des valeurs), un trait marque la médiane, les moustaches vont jusqu’aux extrêmes. Deux boîtes sur le même axe permettent de comparer position et dispersion d’un coup d’œil.

Piège classique

La moyenne de deux moyennes n’est pas la moyenne globale.

Groupe A : $10$ élèves, moyenne $8$ . Groupe B : $30$ élèves, moyenne $12$ . Moyenne globale : $\dfrac{10 \times 8 + 30 \times 12}{40} = 11$ , et non $\dfrac{8 + 12}{2} = 10$ . Il faut pondérer par les effectifs.