Notion de fonction

Définition et vocabulaire

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ (un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\mathbb{R}$) associe à chaque nombre $x$ de $D$ un unique réel noté $f(x)$.

• $D$ est l’ensemble de définition de $f$ (on le note souvent $D_f$)
• $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$
• Si $f(x) = y$, alors $x$ est un antécédent de $y$ par $f$

Notation : $f : D \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$. On lit « $f$ est la fonction qui, à $x$, associe $f(x)$ ».

Une fonction peut être donnée par une formule, un programme de calcul, un tableau de valeurs ou une courbe.

Exemple. Programme de calcul : « choisir un nombre, l’élever au carré, soustraire le triple du nombre de départ ». Il définit la fonction $f(x) = x^2 - 3x$ sur $\mathbb{R}$.

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Image et antécédent

• Image de $a$ : on calcule $f(a)$ en remplaçant $x$ par $a$ (avec des parenthèses).
• Antécédents de $b$ : on résout l’équation $f(x) = b$.

Exemple : $f(x) = 2x^2 - 3$

• Image de $2$ : $f(2) = 2 \times 2^2 - 3 = 5$
• Image de $-1$ : $f(-1) = 2 \times (-1)^2 - 3 = -1$
• Antécédents de $5$ : $2x^2 - 3 = 5 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ ou $x = -2$. Le nombre $5$ a deux antécédents.
• Antécédents de $-7$ : $2x^2 - 3 = -7 \iff x^2 = -2$, impossible. Le nombre $-7$ n’a aucun antécédent.

Un nombre a toujours une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

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Ensemble de définition

Quand la formule ne le précise pas, l’ensemble de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels le calcul de $f(x)$ est possible.

Expression	Contrainte	Exemple
Polynôme ($2x^2 - 3$, $5x + 1$…)	Aucune	$D = \mathbb{R}$
Quotient $\dfrac{\ldots}{u(x)}$	$u(x) \neq 0$	$f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ : $D = \mathbb{R} \setminus \{2\} = \,]-\infty\,;\,2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$
Racine carrée $\sqrt{u(x)}$	$u(x) \geq 0$	$f(x) = \sqrt{x - 2}$ : $x - 2 \geq 0$, donc $D = [2\,;\,+\infty[$

Dans un problème concret, l’ensemble de définition tient aussi compte du contexte : une longueur est positive, un nombre d’objets est entier…

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Courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l’ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $x \in D_f$ et $y = f(x)$. On dit que $\mathcal{C}_f$ a pour équation $y = f(x)$.

Appartenance d’un point : $M(x_M\,;\,y_M) \in \mathcal{C}_f \iff y_M = f(x_M)$.

Exemple. $f(x) = x^2 - 4x + 5$. Le point $A(3\,;\,2)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ? On calcule $f(3) = 9 - 12 + 5 = 2 = y_A$ : oui. Et $B(1\,;\,3)$ ? $f(1) = 1 - 4 + 5 = 2 \neq 3$ : non.

Lecture graphique :

• Image de $a$ : ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$ (on part de l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, on lit sur l’axe vertical).
• Antécédents de $b$ : abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ d’ordonnée $b$ (on part de l’axe vertical).

Une lecture graphique donne en général une valeur approchée ; le calcul donne la valeur exacte.

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Résoudre $f(x) = k$ et $f(x) < k$

Graphiquement : on trace la droite horizontale d’équation $y = k$.

• Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et de la droite.
• Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés strictement en dessous de la droite ; pour $f(x) > k$, au-dessus.

Sur la figure : $f(x) = 2$ a pour solutions $1$ et $3$ ; $f(x) < 2$ a pour solutions $]1\,;\,3[$ ; $f(x) \geq 2$ a pour solutions $]-\infty\,;\,1] \cup [3\,;\,+\infty[$.

Algébriquement : $x^2 - 4x + 5 = 2 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x - 1)(x - 3) = 0 \iff x = 1$ ou $x = 3$. On retrouve la lecture graphique, cette fois de façon exacte.

Résoudre $f(x) = g(x)$ graphiquement : on cherche les abscisses des points d’intersection des deux courbes ; $f(x) < g(x)$ correspond aux abscisses où $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.

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Signe d’une fonction affine

Soit $f(x) = mx + p$ avec $m \neq 0$. Elle s’annule pour $x_0 = -\dfrac{p}{m}$.

• Si $m > 0$ : $f(x) < 0$ pour $x < x_0$ et $f(x) > 0$ pour $x > x_0$.
• Si $m < 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < x_0$ et $f(x) < 0$ pour $x > x_0$.

Exemple. $f(x) = 3x - 6$ s’annule en $x = 2$ ; comme $m = 3 > 0$, $f$ est négative sur $]-\infty\,;\,2[$ et positive sur $]2\,;\,+\infty[$.

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$3x - 6$		$-$	$0$	$+$

En pratique : on cherche la valeur qui annule, puis on teste une valeur (souvent $x = 0$).

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Tableau de signes d’un produit ou d’un quotient

Pour résoudre $f(x) = 0$ ou $f(x) > 0$ lorsque $f$ est un produit ou un quotient de facteurs affines, on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes ligne par ligne.

Exemple. Résoudre $(x - 2)(x + 5) > 0$.

• $x - 2 = 0 \iff x = 2$ ; $x + 5 = 0 \iff x = -5$.

$x$	$-\infty$		$-5$		$2$		$+\infty$
$x + 5$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 2$		$-$		$-$	$0$	$+$
$(x-2)(x+5)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Solutions : $]-\infty\,;\,-5[\ \cup\ ]2\,;\,+\infty[$.

Pour un quotient $\dfrac{x - 2}{x + 5}$ : même tableau de signes, mais la valeur $-5$ qui annule le dénominateur est interdite (double barre dans le tableau).

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Modéliser une situation par une fonction

Un rectangle a un périmètre de 30 cm. On note $x$ la longueur d’un côté. L’autre côté mesure $15 - x$, et l’aire vaut $A(x) = x(15 - x)$. Ici, $x$ doit vérifier $0 < x < 15$ : l’ensemble d’étude est $]0\,;\,15[$.

Chercher pour quelle valeur de $x$ l’aire vaut $50$ cm², c’est résoudre $A(x) = 50$ ; chercher quand elle dépasse $50$ cm², c’est résoudre $A(x) > 50$, par exemple graphiquement.

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Piège classique

Ne confonds pas $f(x) = 0$ et $f(0)$.

$f(0)$ est un nombre (l’image de $0$, l’ordonnée du point de la courbe sur l’axe vertical). Résoudre $f(x) = 0$, c’est chercher les antécédents de $0$ : les abscisses des points où la courbe coupe l’axe horizontal.