Quiz — Notion de fonction

Question 1 : Soit $f(x) = 3x^2 - 5$. Quelle est l'image de $-2$ par $f$ ?

• $-17$
• ✓ $7$
• $1$
• $-11$

Explication : $f(-2) = 3 \times (-2)^2 - 5 = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$. Attention : $(-2)^2 = 4$, pas $-4$.

Question 2 : Soit $g(x) = 2x - 8$. Quel est l'antécédent de $10$ par $g$ ?

• $12$
• $1$
• ✓ $9$
• $2$

Explication : On résout $2x - 8 = 10$, soit $2x = 18$, donc $x = 9$. Vérification : $g(9) = 18 - 8 = 10$. L'option $12$ est l'image de $10$, pas son antécédent.

Question 3 : Quel est l'ensemble de définition de $h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ ?

• $\mathbb{R}$
• $\mathbb{R} \setminus \{-\tfrac{1}{2}\}$
• $]3\,;\,+\infty[$
• ✓ $\mathbb{R} \setminus \{3\}$

Explication : Un quotient n'est pas défini quand son dénominateur est nul : $x - 3 = 0$ pour $x = 3$. Donc $D_h = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. Le numérateur peut s'annuler sans problème.

Question 4 : Quel est l'ensemble de définition de $k(x) = \sqrt{6 - 2x}$ ?

• ✓ $]-\infty\,;\,3]$
• $[3\,;\,+\infty[$
• $[-3\,;\,+\infty[$
• $\mathbb{R}$

Explication : Il faut $6 - 2x \geq 0$, soit $-2x \geq -6$, donc $x \leq 3$ (on divise par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change). $D_k = ]-\infty\,;\,3]$.

Question 5 : La courbe $\mathcal{C}$ a pour équation $y = x^2 - 4x + 1$. Lequel de ces points appartient à $\mathcal{C}$ ?

• $A(1\,;\,-3)$
• ✓ $B(3\,;\,-2)$
• $C(0\,;\,-1)$
• $D(2\,;\,-1)$

Explication : On calcule l'ordonnée pour chaque abscisse : $f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 \neq -3$ ; $f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$ donc $B \in \mathcal{C}$ ; $f(0) = 1 \neq -1$ ; $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 \neq -1$.

Question 6 : D'après la courbe ci-dessous, quelle est l'image de $2$ par $f$ ?

• ✓ $1$
• $-1$
• $2$
• $0$

Explication : On se place en $x = 2$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe : le point a pour ordonnée $1$. Donc $f(2) = 1$ (la courbe est celle de $f(x) = x^2 - 4x + 5$, et $4 - 8 + 5 = 1$).

Question 7 : Sur la courbe ci-dessous, combien le nombre $2$ a-t-il d'antécédents par $f$ ?

• $0$
• $1$
• ✓ $2$
• $3$

Explication : On trace la droite horizontale $y = 2$ : elle coupe la courbe en deux points, d'abscisses $1$ et $3$. Le nombre $2$ a donc deux antécédents. En effet $x^2 - 4x + 5 = 2 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0$.

Question 8 : Sur l'intervalle $[-1\,;\,5]$, l'inéquation $f(x) < 2$ (courbe ci-dessous) a pour ensemble de solutions :

• $]-\infty\,;\,1[\ \cup\ ]3\,;\,5]$
• $[1\,;\,3]$
• ✓ $]1\,;\,3[$
• $[-1\,;\,1[$

Explication : La courbe est strictement en dessous de la droite $y = 2$ pour les abscisses comprises strictement entre $1$ et $3$. Solution : $]1\,;\,3[$ (bornes exclues car l'inégalité est stricte).

Question 9 : Quel est le signe de la fonction affine $f(x) = -2x + 6$ ?

• ✓ Positive sur $]-\infty\,;\,3]$, négative sur $[3\,;\,+\infty[$
• Négative sur $]-\infty\,;\,3]$, positive sur $[3\,;\,+\infty[$
• Positive sur $]-\infty\,;\,-3]$, négative sur $[-3\,;\,+\infty[$
• Toujours positive

Explication : $-2x + 6 = 0 \iff x = 3$. Le coefficient directeur $-2$ est négatif : la fonction est décroissante, donc positive avant $3$ et négative après. Vérification : $f(0) = 6 > 0$.

Question 10 : On veut résoudre $(x - 2)(x + 5) > 0$ avec un tableau de signes. Quel est l'ensemble des solutions ?

• $]-5\,;\,2[$
• $]2\,;\,+\infty[$
• ✓ $]-\infty\,;\,-5[\ \cup\ ]2\,;\,+\infty[$
• $]-\infty\,;\,2[$

Explication : $x - 2 > 0 \iff x > 2$ et $x + 5 > 0 \iff x > -5$. Dans le tableau, le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe : avant $-5$ (deux facteurs négatifs) et après $2$ (deux facteurs positifs). Entre $-5$ et $2$, un seul facteur est négatif : produit négatif.