Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel ?

Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comme 0,75 ou −3,2), c'est-à-dire sous la forme a/10^n. Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers p/q. Tout décimal est rationnel, mais 1/3 = 0,333… est rationnel sans être décimal.

Comment savoir si un nombre appartient à un intervalle ?

On vérifie les inégalités qui définissent l'intervalle en faisant attention aux crochets : [a ; b] contient a et b, ]a ; b[ ne les contient pas. Par exemple 2 ∈ [2 ; 5[ mais 5 ∉ [2 ; 5[.

À quoi sert la valeur absolue en seconde ?

Elle sert à exprimer une distance : |a − b| est la distance entre les réels a et b sur la droite graduée. L'inéquation |x − a| ≤ r signifie que x est à une distance de a inférieure ou égale à r, donc x ∈ [a − r ; a + r].

Nombres réels — BgMaths

Les ensembles de nombres

Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée : à tout point correspond un réel et réciproquement.

Ensemble	Nom	Exemples
$\mathbb{N}$	entiers naturels	$0, 1, 2, 3, \ldots$
$\mathbb{Z}$	entiers relatifs	$-3, -1, 0, 5$
$\mathbb{D}$	nombres décimaux : $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$	$0{,}75 = \dfrac{75}{100}$ , $-3{,}2$ , $12$
$\mathbb{Q}$	nombres rationnels : $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}^*$	$\dfrac{1}{3}$ , $-\dfrac{7}{4}$ , $0{,}75$
$\mathbb{R}$	nombres réels	$\sqrt{2}$ , $\pi$ , tous les précédents

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel : $\sqrt{2}$ (diagonale du carré de côté $1$ ) et $\pi$ (périmètre du cercle de diamètre $1$ ) sont irrationnels.

Démonstrations du programme

$\dfrac{1}{3}$ n’est pas décimal

Raisonnons par l’absurde. Supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit décimal : il existe un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$ . Alors $10^n = 3a$ , donc $10^n$ serait un multiple de $3$ .

Or la somme des chiffres de $10^n = 1\underbrace{0\ldots0}_{n}$ vaut $1$ , qui n’est pas divisible par $3$ . Contradiction : $\dfrac{1}{3}$ n’est pas décimal.

Son écriture décimale est illimitée : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$

$\sqrt{2}$ est irrationnel

Supposons que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, la fraction étant irréductible.

En élevant au carré : $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$ , donc $p^2 = 2q^2$ . Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (car le carré d’un impair est impair) : $p = 2k$ .

Alors $4k^2 = 2q^2$ , soit $q^2 = 2k^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.

$p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit le fait que la fraction est irréductible. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Intervalles

Un intervalle est un ensemble de réels défini par des inégalités. Les bornes sont incluses ou exclues selon le sens des crochets.

Notation	Inégalités	Description
$[a\,;\, b]$	$a \leq x \leq b$	fermé
$]a\,;\, b[$	$a < x < b$	ouvert
$[a\,;\, b[$	$a \leq x < b$	semi-ouvert
$]a\,;\, b]$	$a < x \leq b$	semi-ouvert
$[a\,;\, +\infty[$	$x \geq a$	non borné
$]-\infty\,;\, b[$	$x < b$	non borné

Le crochet est toujours ouvert du côté de $-\infty$ ou $+\infty$ . $\mathbb{R} = \,]-\infty\,;\, +\infty[$ .

Exemples. $3 \in [1\,;\, 3]$ mais $3 \notin [1\,;\, 3[$ . $\quad -2 \in \,]-\infty\,;\, 0[$ . $\quad 0 \notin \,]0\,;\, +\infty[$ .

Intersection et réunion

$I \cap J$ (intersection) : les réels qui sont dans $I$ et dans $J$ .
$I \cup J$ (réunion) : les réels qui sont dans $I$ ou dans $J$ .

$[1\,;\, 5] \cap [3\,;\, 7] = [3\,;\, 5] \qquad [1\,;\, 3] \cup [2\,;\, 5] = [1\,;\, 5]$

$]-\infty\,;\, 2] \cap [2\,;\, +\infty[ = \{2\} \qquad ]-\infty\,;\, 1[ \cap ]4\,;\, +\infty[ = \varnothing$

Valeur absolue et distance

Définition. La valeur absolue de $a$ , notée $|a|$ , est la distance de $a$ à $0$ sur la droite graduée.

$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases} \qquad |5| = 5, \quad |-5| = 5, \quad |0| = 0$

Distance entre deux réels. La distance entre $a$ et $b$ est $|a - b| = |b - a|$ .

Exemple. Distance entre $-2{,}5$ et $3$ : $|3 - (-2{,}5)| = 5{,}5$ .

L’inéquation $|x - a| \leq r$

$|x - a| \leq r$ signifie « la distance de $x$ à $a$ est inférieure ou égale à $r$ », c’est-à-dire

$|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r \iff x \in [a - r\,;\, a + r].$

Exemple. $|x - 3| \leq 2 \iff x \in [1\,;\, 5]$ : l’intervalle de centre $3$ et de rayon $2$ .

Au programme de seconde, la valeur absolue sert uniquement à exprimer une distance et à décrire des intervalles de centre donné.

Encadrements décimaux et arrondis

Un encadrement d’amplitude $10^{-n}$ d’un réel $x$ est une double inégalité $d \leq x < d + 10^{-n}$ où $d$ est un décimal.

Exemple. Encadrement de $\sqrt{2}$ :

$1 < \sqrt{2} < 2 \quad (\text{amplitude } 1) \qquad 1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5 \quad (10^{-1}) \qquad 1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42 \quad (10^{-2})$

car $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2$ .

Calculatrices et logiciels calculent de façon approchée : l’affichage $1{,}414213562$ est un arrondi de $\sqrt{2}$ , pas sa valeur exacte.

Chiffres significatifs. Dans un problème concret, on arrondit avec une précision adaptée : une longueur de terrain de $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ m se donne au centimètre, pas à $7{,}0710678$ m.

Algorithme : encadrer $\sqrt{2}$ par balayage

On avance par pas de $10^{-n}$ jusqu’à dépasser $2$ pour le carré.

def encadrement_racine2(n):
    pas = 10**(-n)
    x = 1
    while x**2 <= 2:
        x = x + pas
    return x - pas, x

encadrement_racine2(2) renvoie (à l’imprécision des flottants près) le couple $(1{,}41\,;\, 1{,}42)$ .

Comparer des réels

Pour comparer deux réels positifs, on peut comparer leurs carrés : pour $a, b \geq 0$ , $a < b \iff a^2 < b^2$ .

Exemple. Comparer $\sqrt{5}$ et $2{,}2$ : $2{,}2^2 = 4{,}84 < 5 = (\sqrt{5})^2$ , donc $2{,}2 < \sqrt{5}$ .

On peut aussi comparer deux réels en étudiant le signe de leur différence : $a < b \iff a - b < 0$ .